2016届人教A版高三文科数学复习热点专题突破系列：三角函数与平

热点专题突破系列(二) 三角函数与平面向量的综合应用

考点一

三角函数的求值与平面向量的综合

【考情分析】以平面向量为载体利用诱导公式、同角三角函数关系式、 两角和与差的三角函数及倍角公式等解决三角函数的条件求值问题, 是高考的重要考向,考查学生分析问题、解决问题的能力.

【典例1】(2015·海滨模拟)已知m=(sinx, 3 cosx),n=(sinx,sinx), f(x)=m·n. (1)求 f( ) 的值. (2)当x∈[0, ]时,求函数f(x)的最大值与最小值.2 12

【解题提示】(1)利用向量的坐标计算两向量的数量积,从而得f(x), 把x= 代入可得.12

(2)利用x的范围确定角的范围,从而得三角函数的最大值与最小值.

【规范解答】(1)由已知得. f(x)=m·n=(sinx, 3 cosx)·(sinx,sinx) =sin2x+ =1 cos 2x 3 cosxsinx= sin 2x 3 2 2

3 sin2x- 1 cos2x+ 1 =sin(2x- )+ 1 . 2 6 2 2 2 故 f( ) sin(2 ) 1 1 . 12 12 6 2 2

(2)当x∈[0, ]时, 2x [ , 5 ],

2 6 6 6 故当2x- = ,即x= 时,f(x)max=1+ 1 = 3 , 2 6 2 2 3 当2x- =- ,即x=0时, 6 6 f(x)min=sin(- )+ 1 =- 1 + 1 =0. 2 2 2 6

【规律方法】平面向量在三角函数求值中的应用步骤

(1)此类题目的特点是所给向量的坐标用关于某角的正、余弦给出,把向量垂直或共线转化为关于该角的三角函数的等式.

(2)利用三角恒等变换进行条件求值.

【变式训练】(2015·南京模拟)已知向量a=(sinθ,-2)与 b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0, (1)求cosθ,sinθ的值. (2)若5cos(θ-φ)=3 5 cosφ,0<φ< ,求cosφ的值. 2 ). 2

【解析】(1)因为a⊥b,所以a·b=sinθ-2cosθ=0, 即sinθ=2cosθ. 又sin2θ+cos2θ=1, 所以4cos2θ+cos2θ=1,即cos2θ= 1 . 因为θ∈(0, ),所以cosθ= 2 5

5 ,sinθ=2cosθ= 2 5 . 5 5

(2)由5cos(θ-φ)=3 5 cosφ,得5(cosθcosφ+sinθsinφ)=3 5 cosφ,

即 5 cosφ+2 5 sinφ=3 5 cosφ,所以sinφ=cosφ.因为φ∈(0, ),所以cosφ= 2

2 . 2

【加固训练】设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c= (cosβ,-4sinβ). (1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值.

(2)求|b+c|的最大值.(3)若tanαtanβ=16,求证:a∥b.

【解析】(1)因为b-2c=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8sinβ),a与b-2c垂

直,所以4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0, 即sinαcosβ+cosαsinβ =2(cosαcosβ-sinαsinβ), 所以sin(α+β)=2cos(α+β),所以tan(α+β)=2.