【数学】1.2.1《排列(一)》课件(新人教A版选修2-3)

创设情境,引出排列问题 探究 在1.1节的例9中我们看到,用分步乘 法计数原理解决这个问题时,因做了 一些重复性工作而显得繁琐,能否对 这一类计数问题给出一种简捷的方 法呢?

探究：问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下 午的活动，有多少种不同的选法？

问题2:从1,2,3,4这4个数中，每次取出3个排成 一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

上面两个问题有什么共同特征？可以用 怎样的数学模型来刻画？

探究：问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下 午的活动，有多少种不同的选法？

分析：把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名， 按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的 顺序排列，求一共有多少种不同的排法？

第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名，有3种选法.第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法 根据分步计数原理：3×2=6上午甲 乙

即共6种方法。相应的排法甲乙 甲丙

下午乙 丙 甲 丙 甲 乙

乙甲 乙丙丙甲 丙乙

丙

把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问 题1就可以叙述为：从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定 的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ ab, ac, ba, bc, ca, cb

问题2:从1,2,3,4这4个数中，每次取出3个排成 一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？2 1 3 43

1

2 3 41 41

43

1 2

3 2

4 2 2

13 1

4 23 1

3

3 42 42 3

41 4 1

2

有此可写出所有的三位数：

123,124,132,134,142,143; 213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342; 412,413,421,423,431,432。

从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按照一定的顺 序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.

基本概念1、排列： 一般地，从n个不同中取出m (m n)个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。

说明：1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。 2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是 否是排列问题的关键。 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m<n时的排列叫选排列，m=n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用 “树形图”。

例1、下列问题中哪些是排列问题？(1)10名学生中抽2名学生开会 (2)10名学生中选

2名做正、副组长

(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除

(5)20位同学互通一次电话 (6)20位同学互通一封信(7)以圆上的10个点为端点作弦 (8)以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的 射线

(9)有10个车站，共需要多少种车票？

(10)有10个车站，共需要多少种不同的票价？

2、排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中 m 取出m个元素的排列数。用符号 An 表示。“一个排列”是指：从 n 个不同元素中，任取按照一定的顺序排成一列，不是数；

“排列”和“排列数”有什么区别和联 系？

m 个元素

“排列数”是指从 n 个不同元素中，任取 m 个元素的 m 所有排列的个数，是一个数；所以符号 An 只表示排列数，而不表示具体的排列。

问题1中是求从3个不同元素中取出2个元素的 2 2 排列数，记为 A3 ,已经算得 A3 3 2 6 问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的 3 3 排列数，记为 A4 ,已经算出 A4 4 3 2 24

探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列 2 3 m 数 An 是多少？ An 呢？ An 呢？2 An n(n 1)

A n(n 1)(n 2)m n

(n m 1)

3 An n(n 1)(n 2)

第 1位

第 2位

第 3位

第m位

……n种 (n-1)种 (n-2)种 (n-m+1)种

(1)排列数公式(1):

A n(n 1)(n 2) (n m 1)(m, n N *, m n)m nn 当m=n时，An n(n 1)( n 2) 3 2 1

正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用

n!表示。

n! (2)排列数公式(2): A (n m)!m n

n n个不同元素的全排列公式： An n!

说明：

为了使当m=n时上面的公式也成立，规定： 0! 11、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。

2、对于 m n 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条 件。

例1、计算： 6 3 ( 1 )A (2)A616

( 3)2 x

A

4 8

例2、解方程： 例3、求证：

A 100 A3 2x m n 1 m n

A

A mA

m 1 n

m 例4.若 An 17 16 15 n 17 .

5 4 ,则 m 14 ,

例5、求 A

n 3 2n

A

n 1 4 的值.

课堂练习3 2 1.计算：(1) 5 A5 4 A4 3483 2 5 A5 4 A4 5 5 4 3 4 4 3 3481 2 3 4 A4 A4 A4 A4 4 4 3 4 3 2 4 3 2 1 64

1 2 3 4 (2) A4 A4 A4 A4 64

2.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地 上进行试验，有 24 种不同的种植方法？3 A4 4 3 2 24

3.从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛， 并排定他们的出场顺序，有 60 种不同的方法？3 A5 5 4 3 60

4

.信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能 打出不同的信号有( C ) A. 1种 B.3 种 C.6种 D.27种3 A3 3 2 1 6

小结排列问题，是取出m个元素后，还要按一 定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只 要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种 不同的方法(两个不同的排列). 由排列的定义可知，排列与元素的顺序有 关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排 列问题.当元素较少时，可以根据排列的意义 写出所有的排列.

思考题

三张卡片的正反面分别写着数字 2和3,4和5,7和8,若将这三张卡片 的正面或反面并列组成一个三位数， 可以得到多少个不同的三位数？