同济大学高等数学第六版上第一章第五节 极限运算法则

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极限运算法则本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先来介绍无穷小。

一、无穷小在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有 理论价值，值得我们单独给出定义

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1.定义:定义 1

极限为零的变量称为无穷小.如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),

总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式

0 x x 0 (或 x X ) 的一切 x ,对应的函数值f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) ,那末 称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷小, 记作x x0

lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).x

例如, lim sin x 0, 函数 sin x是当x 0时的无穷小.x 0

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1 lim 0, x x

1 函数 是当x 时的无穷小. x

( 1) n ( 1) n lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n

注意 1.称函数为无穷小，必须指明自变量的 变化过程； 2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;

3.零是可以作为无穷小的唯一的数.

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2.无穷小与函数极限的关系:定理 1x x0

lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),

其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.

证 必要性 设 lim f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A, x x0

则有 lim ( x ) 0,x x0

f ( x ) A ( x ).

充分性 设 f ( x ) A ( x ),其中 ( x )是当x x 0时的无穷小,

则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A.x x0 x x0x x0

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意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷 小);

2.给出了函数f ( x )在x 0附近的近似表达式 f ( x ) A, 误差为 ( x ).

3.无穷小的运算性质:定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 证 设 及 是当x 时的两个无穷小,

0, N 1 0, N 2 0, 使得

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当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 1 例如, n 时, 是无穷小， n 1 但n个 之和为1不是无穷小. n 注意

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定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证 设函数u在U 0 ( x 0 , 1 )内有界，

则 M 0, 1 0, 使得当0 x x 0 1时 恒有 u M .又设 是当x x 0时的无穷小,

0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时 恒有 . M

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取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x 0 时, 恒有 u u M , M 当x

x 0时, u 为无穷小.推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

1 2 1 例如,当x 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x

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二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么 小),总存在正数 (或正数X ),使得对于适合不等式

0 x x 0 (或 x X )的一切 x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) M , 则称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷小, 记作x x0

lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).x

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特殊情形：正无穷大，负无穷大.x x0 ( x )

lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )x x0 ( x )

注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;

2.切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在.x x0

3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.

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1 1 例如, 当x 0时, y sin x x 是一个无界变量, 但不是无穷大.(1) 取 x 0 1 ( k 0,1,2,3, )

y

1 1 sin x x

2k 2 y ( x 0 ) 2 k , 当k充分大时, y( x 0 ) M . 无界， 2 1 ( 2) 取 x 0 ( k 0,1,2,3, ) 2 k 当k充分大时, x k ,不是无穷大.

但 y( x k ) 2k sin 2k 0 M .

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1 例 证明 lim . x 1 x 1证 M 0. 要使 1 M , x 11 1 只要 x 1 , 取 , M M1 1 1 . 当0 x 1 时, 就有 M . lim x 1 x 1 M x 11 y x 1

定义 : 如果 lim f ( x ) , 则直线x x 0是函数y f ( x )x x0

的图形的铅直渐近线.

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三、无穷小与无穷大的关系定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证

设 lim f ( x ) .x x0

0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , 1 当x x 0时, 为无穷小. f ( x)

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反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.x x0

M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M

1 当x x 0时, 为无穷大. f ( x)意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.

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四、极限运算法则定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则

(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B证 lim f ( x ) A, lim g( x ) B. f ( x ) A , g( x ) B . 其中 0, 0.

由无穷小运算法则,得

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[ f ( x ) g( x )] ( A B ) 0. (1)成立. [ f ( x ) g( x )] ( A B ) ( A )( B ) AB ( A B ) 0. ( 2)成立.

f ( x ) A

A A B A B A 0. g ( x ) B B B B( B )又 0, B 0, 0, 当0 x x 0 时,B , 2

1 1 B B B B B 2 2