高一数学例析求函数值域的方法

例析求函数值域的方法

曲靖市民族中学 张小琼

求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关，是高中数学的重点和难点。注意：求值域要

先求定义域。虽然没有固定的方法和模式，但常用的方法有：

一、直接法：从自变量x的范围出发，推出y f(x)的取值范围。

例1

：求函数y

1的值域。

01 1，

∴函数y

1的值域为[1, )。

二、图像法：对于二次函数在给定区间求值域问题，一般采用图像法。

例2：求函数y x2 4x 2（x [ 1,1]）的值域。(开口方向；区间与对称轴的关系) 三、中间变量法：函数式中含有可以确定范围的代数式。

x2 1

例3：求函数y 2的值域。

x 1

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R（定义域优先原则），对函数进行变形可得

(y 1)x2 (y 1)，

∵y 1，（特殊情况优先原则）∴x

2

y 1

（x R，y 1）， y 1

∴

y 1

0，∴ 1 y 1， y 1

x2 1

∴函数y 2的值域为{y| 1 y 1}

x 1

例4：求y=解：y＝

5 x

（1≤X≤3）的值域。 2x 5

5 5y5 x

x＝ 2x 52y 1

∵1≤X≤3 ∴1≤

5 5y24

≤3 （怎么求解？） y∈[,]

1172y 1

四、分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用

反函数法。

例5：求函数y

1 x

的值域。 2x 5

177 (2x 5)

1 x 1 ， 解：（此处要先求定义域）∵y 2x 52x 522x 5

7

11 x1

∵ 0，∴y ，∴函数y 的值域为{y|y 。

22x 522x 5

五、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，

形如y ax ba、b、c、d均为常数，且a 0）的函数常用此法求解。 例6

：求函数y 2x

1 t2

解：(求值域先求定义域)

令t t 0）（引入新元要标注范围），则x ，

2

22

∴y t t 1 (t )

125

（t 0）（你看：没有标注范围的话这里就会出错）（再利用4

数形结合法）

135

，即x 时，ymax ，无最小值。

284

5

∴函数y 2x( ,]。

4

例7：求y＝2x－3＋ 4x的值域

∵当t

解：(求值域先求定义域)令t＝ 4x，则t≥0（引入新元要标注范围），

且2x＝y＝－

1

(13－t2) 2

12712

t＋t＋＝t－(t－1)＋4≤4（t≥0） 222

（这里最好利用数形结合法）

y∈（－∞，4

例8

求函数y 3x

解：函数的定义域为 , (求值域先求定义域)

，令t ，那么t 0（引入新元要

5

2

2 t2

标注范围），x

5

2 t211 5 49

（t≥0） y 3 t t2 5t 6 t

555 2 20（这里最好利用数形结合法）

2

当t

517495

也即x 时，函数有最大值；函数无最小值。 220202

49

函数的值域为 , 。

20

点评：对于形如f(x) ax ba、b、c、d为常数，ac 0）的函数，我们可以利用换元法求其值域，同时还利用了图像法。特别注意：引入新的变量时要标注其范围。 例9 求函数y x 2x的值域

1 t2

分析：该题比较难处理的是根号，如果将根号 2x看作是一个整体t，那么x ，

2

则原函数就可以写成一个二次函数的形式，用配方法就可以求出其值域。

1 t2

解：(求值域先求定义域)令 2x t，则x （t 0）

2

1 t21

t (t 1)2 1, t 0, （再利用数形结合法） 于是原函数变为y 22

y 1， 即值域为 ,1 。

[评注] 形如y ax b d 的函数均可用此法（换元、图像）求值域。

六、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y) 0；通过方程有实数根，判别式 0，

a1x2 b1x c1

从而求得原函数的值域，形如y （a1、a22

a2x b2x c2

的值域，常用此方法求解。

x2 x 3

例10：求函数y 2的值域。

x x 1

解：定义域为：∵x R

x2 x 3由y 2变形得(y 1)x2 (y 1)x y 3 0，

x x 1

当y 1时，此方程无解；（特殊情况优先）

当y 1时，∵x R说明方程至少有解，∴ (y 1)2 4(y 1)(y 3) 0， 解得1 y

1111

，又y 1，∴1 y 33

11x2 x 3

∴函数y 2的值域为{y|1 y

3x x 1

例11：求y＝

4

的值域。

x2 4x 5

5x2 8x 5

例12： 求函数y 的值域。 2

x 1

解：定义域为：∵x R说明方程至少有解

5x2 8x 52y 可化为(y 5)x 8x (y 5) 0 2

x 1

当y 5 0即y 5时，方程在实数范围内有唯一解x 0； 当y 5 0即y 5时，

x R， 0，即

y 5 0

2

64 4 y 5 0

解得1 y 9， 函数的值域为 1,9

x x2 2

例13.求y=的值域。 2

x 2

分析：定义域为：∵x R

2

原函数解析式变为：(y+1)x-x+2y+2=0,当y=-1时，x=0成立；当y≠-1时，此方程的判别式△≥0解出y∈

]。

ax2 bx c

点评：（1）此法适用y (a≠0）型的函数；

mx2 nx p

（2）在解题过程中注意对二次项系数是否零的讨论；

（3）有两种情况不采用此法。(一是X有限制；二是分子分母有公因式)

七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例14

：求函数y x

解：(求值域先求定义域)∵当x增大时，1 2x随x

的增大而减少，x的增大而增

大，∴函数y x( ,]上是增函数。

12

∴y

11，

22

1

2

∴函数y x( ,]。

八、数形结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。

例15：求函数y |x 3| |x 5|的值域。

2x 2(x 3)

解：∵y |x 3| |x 5| 8 ( 3 x 5)，

2x 2(x 5)

∴y |x 3| |x 5|的图像如图所示，

由图像知：函数y |x 3| |x 5|的值域为[8, )

例16：求函数y |x 3| |x 5|的值域。(还记得以上两题的结论吗？) 九、反函数法（利用原函数与反函数的关系求解）。

二次函数训练题

一、实际应用题

1、某超市为了获取最大利润做了一番试验，将进货单价为8元的商品按10元一件出售时，每天可销售60件，现在采用提高售价减少进货量的办法来增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少元时，才能赚得最大利润，并求出最大利润。

2、某工厂计划出售一种产品，经销人员并不是根据生产成本来确定这种产品的价格，而是经过对经营产品的零售商对于不同的价格情况下他们会进多少货进行调查，通过调查确定了关系式

P 750x 15000，其中p是零售商进货的数量，x为零售商愿意支付的每件价格，现估计这种

产品生产一件的材料和劳动生产成本费用为4元，并且工厂生产这种产品的总固定成本为7000元（固定成本是除材料和劳动费用外的其它费用）。为获得最大利润，工厂应对零售商每件收取多少元？