全国高中数学联赛模拟试题(十)部分答案

高中数学竞赛试卷

第 1 页 共 4 页 全国高中数学联赛模拟试题（十）

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、设集合M ={-2,0,1}，N ={1,2,3,4,5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都

有x +f (x )+xf (x )是奇数，则这样的映射f 的个数是

（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）11

2、已知sin2θ=a ，cos2θ=b ，0＜θ＜

4π，给出??? ??+4tan πθ值的五个答案： ①a b -1； ②b a -1； ③a b +1； ④b

a +1； ⑤1

1-++-b a b a ． 其中正确的是：

（A ）①②⑤ （B ）②③④ （C ）①④⑤ （D ）③④⑤

3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，

则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是

（A ）64 （B ）66 （C ）68 （D ）70

4、递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，

或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为

（A ）729 （B ）972 （C ）243 （D ）981

5、14951C C C C +++++m n n n n （其中??

????-=41n m ，[x ]表示不超过x 的最大整数）的值为

（A ）4cos 2πn n （B ）4

sin 2πn n （C ）??? ??+-4cos 22211πn n n （D ）??

? ??+-4sin 22211πn n n 6、一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a ＜b ＜c ，c ＞d

＞e （如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是

（A ）8568 （B ）2142 （C ）2139 （D ）1134

二、填空题：（每小题9分，共54分）

1、过椭圆12

32

2=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），

高中数学竞赛试卷

第 2 页 共 4 页 并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH （λ≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是 ．

2、已知异面直线a 、b 所成的角为60°，过空间一点P 作与a 、b 都成角α

（0＜α＜90°）的直线l ，则这样的直线l 的条数是f (α)= ．

3、不等式()92211422+<+-x x x 的解集为 ．

4、设复数z 满足条件|z -i|=1，且z ≠0，z ≠2i ，又复数ω使得i

2i 2-?-z z ωω为实数，则复数ω-2的辐角主值的取值范围是 ．

5、设a 1,a 2,…,a 2002均为正实数，且2

1212121200221=++++++a a a ，则a 1a 2…a 2002的最小值是 ．

6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为

“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n （n 为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为 ．

三、（20分）

已知数列{a n }是首项为2，公比为

2

1的等比数列，且前n 项和为S n ． （1） 用S n 表示S n +1；

（2） 是否存在自然数c 和k ，使得

c S c S k k --+1＞2成立． 四、（20分）

设异面直线a 、b 成60°角，它们的公垂线段为EF ，且|EF |=2，线段AB 的长为4，两端点A 、B 分别在a 、b 上移动．求线段AB 中点P 的轨迹方程．

五、（20分）

已知定义在R +上的函数f (x )满足

（i ）对于任意a 、b ∈R +，有f (ab )=f (a )+f (b )；

（ii ）当x ＞1时，f (x )＜0； （iii ）f (3)=-1．

现有两个集合A 、B ，其中集合A ={(p ,q )|f (p 2+1)-f (5q )-2＞0，p 、q ∈

R +}，集合B ={(p ,q )|f (

q p )+21=0，p 、q ∈R +}．试问是否存在p 、q ，使

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第 3 页 共 4 页 ?≠B A ，说明理由．

第二试

一、（50分）

如图，AM 、AN 是⊙O 的切线，M 、N 是切点，L 是劣弧MN 上异于M 、N 的点，过点A 平行于MN 的直线分别交ML 、NL 于点Q 、P ．若POQ O S S △⊙32π

=，求证：∠POQ =60°．

二、（50分）

已知数列a 1=20，a 2=30，a n +2=3a n +1-a n （n ≥1）．求所有的正整数n ，使得1+5a n a n +1是完全平方数．

三、（50分）

设M 为坐标平面上坐标为(p ·2002,7p ·2002)的点，其中p 为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数：

（1） 三角形的三个顶点都是整点，而且M 是直角顶点；

（2） 三角形的内心是坐标原点．

P

Q