3.1多元随机变量

第三章

多维随机变量

3.1 二维随机变量一、 多维随机变量 1.定义 将n个随机变量X1,X2,...,Xn构成一 个n维向量 (X1,X2,...,Xn)称为n维随机变量。一维随机变量X——R1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标 n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标

二.

二维离散型随机变量一维随机变量X 离散型 X的概率分布列

二维随机变量(X,Y) 离散型 X和Y 的联合概率分布列

P( X xi ,Y y j ) pij,i, j =1,2, …

P( X xk ) pk ,k=1,2, …

pij 0, i , j 1,2, pij 1 i j

pk 0, k=1,2, … pk 1

k

二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:X Y y1 y2 … yj …

x1 x2 xi... ...

p11p21 pi1 ... ...

p12p22 ... pi2 ...

...... ...

P1j ...P2j ... ... Pij ...

P(AB)=P(A|B) P(B)

如何计算 pij?一般用乘法公式

P( X xi ,Y y j ) P( X xi | Y y j ).P(Y y j )

...

例1.袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次， 令 1 第 一 次 摸 到 红 球 ,求(X,Y)的分布律。 X 0 第一次摸到白球 P22 P{ X 1, Y 1} 2 P5 1 第 二 次 摸 到 红 球 Y 0 第 二 次 摸 到 白 球 2 3

Y

P{ X 1, Y 0}

X1 0

1

0

1 10 3 10

3 10 3 10

P52 3 2 P{ X 0, Y 1} 2 P5 P32 P{ X 0, Y 0} 2 P5

三. 联合分布函数

二维随机变量(X,Y) ( X , Y )的联合分布函数

一维随机变量X X的分布函数

F ( x , y) P ( X x , Y y) x, y

F ( x ) P( X x ) x

X

x

二维联合分布函数 F ( x , y ) 区域演示图:Y

y

(x,y)

{ X≤x , Y≤y }x X

对于 P ( x1 X x2 , y1 Y y2 )=F(x2, y2)-F(x1, y2)- F (x2, y1)+F (x1, y1). Y

y2

(x1,y2)

(x2,y2)

y1

(x1,y1)

(x2,y1)

x1

x2

X

分布函数F(x, y)具有如下性质： (1)归一性 对任意(x, y) R2 ,x y

0 F(x, y) 1,

且 F ( , ) lim F ( x , y ) 1F ( , ) lim F ( x , y ) 0x y

F ( , y ) lim F ( x , y ) 0x

F ( x , ) lim F ( x , y ) 0y

(2)单调不减(关于x或y非降) 对任意y R, 当x1<x2时，

F(x1, y) F(x2 , y);对任意x R, 当y1<y2时，

F(x, y1) F(x , y2).(3)右连续 对任意x R,y y 0

y R,

F( x, y 0 0) limF( x, y ) F( x, y 0 ). F( x 0 0, y ) limF( x, y ) F( x 0 , y ); x x 0

(4)矩形不等式

对 x1 x2 , y1 y2 ,有

P ( x1 X x2 , y1 Y y2 )

F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) F ( x2 , y1 ) 0

反之，任一满足上述四个性质的二元函数 F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。

四.二维连续型随机变量及其密度函数 设二维连续型随

机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

一维随机变量X 连续型X的概率密度函数 f ( x )

f ( x , y) , 则F ( x, y)

f (u, v )dudv f ( x , y ) 0 非负性

x

y

x F ( x)

f (t )dt

f ( x) 0

f ( x , y )dxdy 1归一性

f ( x)dx 1

反之，具有以上两个性质的二元函数f (x, y),必 是某个二维连续型随机变量的密度函数。 此外，f (x, y)还有下述性质 (3)若f (x, y)在(x, y) R2处连续，则有 2 F ( x, y ) f ( x , y ); x y

F ( x, y )

x

y

f (u, v)dudv

(4)对于任意平面区域G R2,

P {( X , Y ) G } 例3: 设

f ( x , y )dxdy .G

求:P{X>Y}

1 0 x 1,0 y 1 ( X , Y ) ~ f ( x, y ) others 0y11 x

1 P{ X Y } dx 1 dy 2 0 01 x

Ae ( 2 x 3 y ) , x 0, y 0 例4. 设 ( X , Y ) ~ f ( x , y ) 0, 其 它 试求:(1)常数 A ; (2)P{ X<2, Y<1}; (3)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.

解 (1)

0 0 Ae Ae 0 0

( 2 x 3 y )

dxdy

2 x 3 y

e

dxdy

据 dx f ( x ) g( y )dy f ( x )dx g( y )dy得a c

b

d

b

d

A e0

2 x

dx

0

A =1 6

1 2 x 1 3 y ( e ) e dy A( e ) 2 3 0 0 3 y

a

c

所以,

A=6

(2)P{(X, Y) D} f(x, y)dxdyD

Y

所以,P{ X<2,Y<1}=

Yf(x, y)dxdy {X 2, 1}dy 3 y

1 2 X

dx 6e0 0

2

1

( 2 x 3 y )

{X<2, Y<1} 0

6 e0

2

2 x

dx e0

1

dy

1 2 x 2 1 3 y 1 6( e ) ( e ) 2 0 3 0

(1 e )(1 e )

4

3