华工数学分析三试题

(每小题3分，共15分) 1、以下四个命题：

(a)两个二次极限都不存在，则二重极限必不存在;

(b)两个二次极限存在但不相等，则二重极限必不存在; (c)两个二次极限存在且相等，则二重极限存在； (d)若两个二次极限和二重极限都存在，则它们相等;

( )

、1 B、2 C、3 D、4 、考虑二元函数f(x,y)的以下性质：

①f(x,y)在点(x0,y0)处连续;

②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续; ③f(x,y)在点(x0,y0)处可微;

④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在;

P Q”表示可由性质P推出性质Q，则有( )

、② ③ ① B、③ ② ① C、③ ④ ① D、③ ① ④

xy

,

3、二元函数f(x,y) x2 y2

0,

(x,y) (0,0)(x,y) (0,0)

在点(0,0)处( )

A、连续，偏导数存在; B、连续，偏导数不存在; C、不连续，偏导数存在; D、不连续，偏导数不存在. 4、设f(x)为连续函数，F(t)

t

1

dy f(x)dx

y

t

，则F'(2) ( )

A、2f(2) B、f(2) C、－f(2) D、0

5、已知

(x ay)dx ydy

(x y)

2

为某函数的全微分，则a等于( )

A、-1； B、0； C、1； D、2。 (每小题3分，共15分)

1、叙述平面点集E的聚点的定义：____________________________________________ 。

2、设z f(xy,ysinx),其中f具有二阶连续偏导数,则

2

z x y

2

＝__________________

______________________________________________________________________________。 3、设u f(x y,x y)可微，则它的全微分du=________________________________。 4、函数f(x,y) ex y在点(0,0)处的n阶泰勒展开式为____________________________ ______________________________________________________________________________。 5、曲面z x2 y2与平面2x 4y z 0平行的切平面方程是_____________。

三、解答题(每小题6分，共36分)

1、设u x y,v x y,w xy z，变换方程

z x

22

2

z x y

2

z y

2

2

0。

2、 一页长方形白纸，要求印刷面积占A cm2，并使所留叶边空白为：上部与下部宽度

之和为h cm，左部与右部之和为r cm，试确定该页纸的长(y)和宽(x)，使得它的总面积为最小。

3、求球面x2 y2 z2 a2与圆柱面x2 y2 ax(a 0)的公共部分的体积。 4、应用对参数求导法计算： ln(1 2acosx a)dx(|a| 1)。

2

5、计算： (x 2xy)dx (y 2xy)dy，l为y x2从(1,1)到(-1,1)。

l

22

6、计算曲面积分：I

S

2xdyd z2ydzd x3(z 1)dxdy，S是曲面

332

22

z 1 x y(z 0)的上侧。

四、证明题：(每小题7分，共21分)

1、设f(x,y)在区域D内连续，并且在D内两点M1(a1,b1),N1( 1, 1)异号，则用完全位于D内的任意的折线l联结M1,N1时，在l上必有一点M(x,y)满足f(x,y) 0。

1 22

(x y)sin, 22

2、设f(x,y) x y

0,

x yx y

22

2

0 0

2

证明：fx(x,y),fy(x,y)存在但不连续，在(0,0)点的任何邻域中无界，但在(0,0)点可微。

3、 设f(t)当t 0时连续，若 于 在[a,b]上一致收敛。

tf(t)dt当 a, b时收敛，则

tf(t)dt关

五、讨论题：(第１小题6分，第２小题7分，共13分)

1、

讨论函数F(y)

1

yf(x)x y

2

2

dx,(y 0)的连续性，f(x)是[0,1]上连

续且为正的函数。

2、讨论

0

e

x

2

dx(0 )的一致收敛性。