直线与圆锥曲线题型总结

直线和圆锥曲线基本题型

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题

x2y2

1、已知直线l:y kx 1与椭圆C: 1始终有交点，求m的取值范围

4m

x2y2

解：根据直线l:y kx 1的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆C:

1

4mx2y2

1始终有交点，

过动点（0且m 4，如果直线l:y kx 1和椭圆C:

4m

1，且m 4，即1 m且m 4。 题型二：弦的垂直平分线问题

例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：y2 x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得 ABE是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线l:y k(x 1)，k 0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。 由

y k(x 1)

消2

y x

y整理，得 k2x2 (2k2 1)x k2 0 ①

由直线和抛物线交于两点，得 (2k2 1)2 4k4 4k2 1 0 即0 k2 ②

2k2 1

由韦达定理，得：x1 x2 2,x1x2 1。则线段

k

14

AB

2k2 11

的中点为( 2,)。

2k2k

线段的垂直平分线方程为：

E(

11

,0) 22k2

111 2k2

y (x )令2

2kk2k

y=0,得x0

11

2k22

，则

Q ABE为正三角形， E(

11 ,0)到直线2k22

AB的距离

。

QAB

d

x0

5

。 3

解得k 满足②式 此时

题型三：动弦过定点的问题 例题3、已知椭圆

x2

y2

C：2 2 1(a b 0)abx轴上的顶点

分别为A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程；

（II）若直线l:x t(t 2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2

分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

解：（I）由已知椭圆C

的离心率e

x2

的方程为 y2 1

4

c，a 2,则得c b 1。从而椭圆

a2

（II）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为

y k(x 2)

消y k1(x 2)，由 212

x 4y 4

y整理得(1 4k12)x2 16k2x 16k12 4 0 Q 2和x1

16k12 4

是方程的两个根， 2x1

1 4k12

则

2 8k12

x1

1 4k12

，

y1

4k11 4k12

， 即点M的坐标为

2 8k124k1(,)， 1 4k121 4k12

同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N

Qyp k1(t 2),yp k2(t

2)

k1 k22

， k1 k2t

2

8k2 2 4k2

的坐标为(,) 22

1 4k21 4k2

Q直线MN 令

的方程为：

y y1y2 y1

，

x x1x2 x1

y=0，得x

x2yy1 x12y1 y2

，将点M、N的坐标代入，化简后得：x 又Qt 2，

故当t 4

t

0

44 2Q

椭圆的焦点为

t

tt时，MN过椭圆

的焦点。

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A、B、C是椭圆A是椭圆的右顶点，直线BC如图。

(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；

(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与 直线QC关于直线x PQ的斜率。

ruuur 解：(I) QBC 2AC

x2y2

E：2 2 1 (a b 0)上的三点，其中点

ab

uuuruuuruuuruuur

过椭圆的中心O，且ACBC 0，BC 2AC，

，且BC过椭圆的中心O

又Q 点C的坐标为

uuuruuuruuuruuur

OC ACQAC BC 0 ACO

2

。)

x2y2

QA是椭圆的右顶点， a 2 1 将点

12b

C代入方程，得b2 4，

椭圆

E

x2y2

的方程为 1

124

(II) Q 直线PC与直线QC关于直线x

设直线

PC的斜率为k，则直线QC的斜率为 k，从而直线PC的方程为：

y kx k)

消y k(x

，即y kx

k)，由 2

2

x 3y 12 0

y，整理得：

(1 3k2)x2 (1 k)x 9k2 18k 3 0

x

9k2 18k 322 xP即xP 同理可得：xQ 1

3k2

Q

yP yQ kxP k) kxQ k)＝k(xP xQ)

yP yQ122xP xQ kPQ 则直线x x3

PQ

PQ的斜率

为定值。

题型五：共线向量问题

例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线求实数l的取值范围。 解：设

uuuruuur

P(x1,y1),Q(x2,y2),QDP=lDQ\

13

x2y2

M 1于

94

P、Q两点，且DP=lDQ,

uuuruuur

ìx1=lx2ï

(x1,y1-3)=l(x2,y2-3)即ïíïy=3+l(y-3)

2ïïî1

方法一：方程组消元法 又QP、Q是椭圆

x2

9

+

y24

=1上的点

22ìx2y2ïï+=1ïï94ï消去\í22ï(lx)(ly+3-3l)ï22

+=1ïï94ïî

x2，可得

(ly2+3-3l)2-l2y22

=1-l

4

2

即y2=13l范围是

-5

又Q－2£6l

y2£2，\－2£

13l-5

£6l

21

5则实数l5

的取值

1

,5 。 5

方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ的方程为：

(4 9k2)x2 54kx 45 0

y kx 3

y kx 3,k 0，由 2消2

4x 9y 36

y整理后，得

QQP、

是曲线M上的两点 (54k)2 4 45(4 9k2)＝144k2 80 0即9k2 5 ①

由韦达定理得

：

54k45(x1 x2)2x1x2542k2(1 )2

x1 x2 ,x1x2 Q 2 2

4 9k24 9k245(4 9k) x1x2x2x1

即

1

36 9k2 44 1

5(1 )29k29k2

② 由①得0

11

9k25

，代入②，整理得

136 9

5 ，解之得

55(1 )25

当直线PQ的斜率不存在，即x 0时，易知 5或 。总之实数l的取值

1

范围是 ,5 。

5

1

5

题型六：面积问题 例题6、已知椭圆

x2y2

C：2 2 1（a＞b＞0）的离心率为6,短轴一个端点到

ab3

右焦点的距离为3。 （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为求△AOB面积的最大值。

c

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c

，依题意 a3 b 1， 所求椭圆方程为

a

，2

x2

y2 1。 3

（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)。（1）当AB⊥

x轴时，AB

（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y kx m。

得m2

32

(k 1)。 4

，2

把y kx m代入椭圆方程，整理得(3k2 1)x2 6kmx 3m2 3 0， x1 x2

3(m2 1)x1x2 。

3k2 1

2

2

2

6km

，3k2 1

AB (1 k)(x2 x1)

36k2m212(m2 1)

(1 k) 2 2

(3k 1)3k2 1

2

12(k2 1)(3k2 1 m2)3(k2 1)(9k2 1)

2222

(3k 1)(3k 1)

12k21212

3 4 3 (k 0)≤3 4。 2

9k 6k 12 3 69k2 2 6k