2014届高三数学(理)第一轮《命题及其关系、充分条件与必要条件》

7.1 命题及其关系、充分条件与必要条件 考纲点击 1.理解命题的概念. 2.了解“若 p,则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与 逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

考点梳理 一、命题 在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以① __________________叫做命题. 其中②__________的语句叫做 真命题，③________的语句叫做假命题.

二、四种命题及其关系 1.四种命题 命题 表述形式 原命题 若p则q 逆命题 ④__________ 否命题 ⑤____________ 逆否命题 ⑥____________

2.四种命题间的关系

3.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有⑩______的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 __________. 三、充分条件与必要条件 1.如果 p q,那么 p 是 q 的 __________,q 是 p 的 __________. 2.如果 p q 且 q p,那么 p 是 q 的 __________.

答案：①判断真假的陈述句

②判断为真

③判断为假

④若 q 则 p ⑤若綈 p 则綈 q ⑥若綈 q 则綈 p ⑦逆命题 ⑧ 否命题 ⑨逆否命题 ⑩相同 必要条件 充要条件 没有关系 充分条件

考点自测 1.已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+ c2≥3”的否命题是( ) A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3解析：a+b+c=3 的否定是 a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3 的否定是 a2+b2+c2<3. 答案：A

2.设集合 A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x ∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：A∪B={x∈R|x<0 或 x>2},C={x∈R|x<0 或 x >2},∵A∪B=C,∴x∈A∪B 是 x∈C 的充分必要条件.故 选 C. 答案：C

3.与命题“若 a∈M,则 b M”等价的命题是( A.若 a M,则 b M B.若 b M,则 a∈M C.若 a M,则 b∈M D.若 b∈M,则 a M

)

解析：命题的逆否命题：“若 b∈M,则 a M”与原命题 等价，故选 D. 答案：D

4.命题“若 C=90° ,则△ABC 是直角三角形”与它的逆 命题、 否命题、 逆否命题这四个命题中， 真命题的个数是( ) A.0 B.2 C.3 D.4

解析：命题“若 C=90° ,则△ABC 是直角三角形”是正 确的，∴其逆否命题也正确. 又∵命题“若 C=90° ,则△ABC 是直角三角形”的逆命 题是“若△ABC 是直角三角形，则 C=90° ”是错误的. ∴否命题也是错误的， ∴只有两个命题正确. 答案：B

5.设 A、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B 对任意 x∈A,有 x B;

②A B A∩B= ;③ A B A B;④A B 存在 x∈A,使得 x B. 其中真命题的序号是__________.(把符合要求的命题序 号都填上)

解析： A={1,2,3}, 若 B={2,3,4}, 则集合 A、 满足 A B. B 但 2∈A,2∈B,故①、②错.若取 A={1,2,3},B={2,3},则 集合 A、B 满足 A B,但 A B,故③是错误的. 答案：④

疑点清源 1.用集合的观点，看充要条件 设集合 A={x|x 满足条件 p},B={x|x 满足条件 q},则有： (1)若 A B,则 p 是 q 的充分条件，若 A�� B,则 p 是 q 的 充分不必要条件； (2)若 B A,则 p 是 q 的必要条件，若 B�� A,则 p 是 q 的 必要不充分条件； (3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件； (4)若 A�� B,且 B�� A,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.

2.从逆否命题，谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而， 当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题 的真假.这就是常说的“正难则反”.

题型探究 题型一 四种命题及其真假判断 例 1 下列命题中的真命题是( ) A.命题“若 a、b 都是偶数，则 a+b 是偶数”的逆命题 B.命题“奇数的平方不是偶数”的否定 C.命题“空集是任何集合的真子集”的逆否命题 D.命题“至少有一个内角为 60° 的三角形是正三角形” 的否命题

解析：选择项 A 中的命题是“a+b 是偶数，则 a、b 都是 偶数”,举一反例即能断定这是一个假命题； 选择项 B 中的命题是“存在一个奇数，其平方是偶数”, 显然也是一个假命题； 注意到空集是任何非空集合的真子集， 而不是任何集合的 真子集，∴选择项 C 中的原命题是一个假命题， ∴它的逆否命题也是一个假命题； 选择项 D 中的命题是“三个内角均不为 60° 的三角形不是 正三角形”,这显然是一个真命题. 所以正确选项为 D. 答案：D

点评：原命题与它的逆命题不等价，原命题与它的否命题 也不等价，解题时应该充分注意这一点，要避免犯“用一个命 题的逆命题或否命题的真假来断定原命题的真假”的错误.

变式探究 1 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否 命题.并判断它们的真假： (1)若 q<1,则方程 x2+2x+q=0 有实数根； a>0, ab>0, (2) b>0, a+b>0.

解析：(1)逆命题是“若方程 x2+2x+q=0 有实数根，则 q <1”,是假命题； 否命题是“若 q≥1,则方程 x2+2x+q=0 没有实数根”, 是假命题； 逆否命题是“若方程 x2+2x+q=0 没有实数根，则 q> 1”,同原命题一样是一个真命题.

(2)原命题即“若 a>0, b>0, ab>0, a+b>0”, 且 则 且 是一个真命题； 逆命题是“若 ab>0,且 a+b>0,则 a>0

,且 b>0”, 是一个真命题； 否命题是“若 a≤0,或 b≤0,则 ab≤0,或 a+b≤0”, 逆否命题是“若 ab≤0, a+b≤0, a≤0, b≤0”, 或 则 或 从原命题和逆命题都是真命题可以断定否命题和逆否命 题也都是真命题.