材料力学——5梁的弯曲应力

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第五章§5–1 引言

弯曲应力

§5–2 平面弯曲时梁横截面上的正应力§5–3 梁横截面上的剪应力 §5–4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面 §5–5 非对称截面梁的平面弯曲 开口薄壁截面的弯曲中心 §5–6 考虑材料塑性时的极限弯矩

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§5-1 引言

1、弯曲构件横截面上的(内力)应力 剪力Q 内力 剪应力t

弯矩M

正应力s

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2、研究方法 平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)

平面弯曲时横截面t例如： P1

剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)P2

纵向对称面

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a A Q

P

PB

a

纯弯曲(Pure Bending): 某段梁的内力只有弯矩 没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。如AB段。 x

x M

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§5-2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 纵向对称面 中性层 一、 纯弯曲时梁横截面 上的正应力 中性轴 (一)变形几何规律： a b M a b c d c d M

1.梁的纯弯曲实验横向线(a b、c d)变 纵向线变为曲线，且上缩 下伸；横向线与纵向线变

形后仍为直线，但有转动；

形后仍正交。

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2.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不 受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。

3 . 推论

平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。 横截面上只有正应力。 (可由对称性及无限分割法证明)

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4. 几何方程： dq O

a A c

b B d A1

x O1 B1 y

) ) ) A B AB A B OO ) AB OO1 1 1 1

1

1

( + y )dq dq y x dq

x

y

...... (1)

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(二)物理关系： 假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应

力状态。

sx

sx

s x E x (三)静力学关系：

Ey

ydA

......(2)

N sdA x A

Ey

A

dA

E

ESz

A

0

S z 0 z (中性)轴过形心

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M M1

y

(sdA) z A

Eyz

A

Ey2

dA

E

A

yzdA

EI yz

EI z

0

(对称面)z

(sdA) y A

A

dA

E

A

y dA 2

M

Mz EI zsx My Iz

… …(3)

EIz

杆的抗弯刚度。

...... (4)

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(四)最大正应力：

s maxIz Wz ymaxdD

M Wz

… …(5)

抗弯截面模量。

a d D

I z D3 圆环 Wz (1 a 4 ) ymax 32

b

Iz BH 2 bh3 回字框 Wz (1 ) 3 ymax 6 BHB

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1 A 1m 1

Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2

例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： (1)1——1截面上1、2两点 的正应力； (2)此截面上的最大正应力；

(3)全梁的最大正应力；(4)已知E=200GPa,求1—1 截面的曲率半径。

120 y + qL2 8 Mmax

z

x

解： 画M图求截面弯矩qLx qx2 M1 (

) 2 2x 1

MM1

60kNm

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1 A 1m 1

Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2

M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm 求应力bh3 120 1803 Iz 10 12 5.832 10 5 m 4 12 12

120 y + qL2 8 Mmax

z

Wz I z / 2 6.48 10 4 m3s1 s 2 M1 y Iz

x

60 60 105 61.7MP a 5.832

MM1

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1 A 1m 1

Q=60kN/m B 2m 1 2 180 30

M1 60 s 1max 104 92.6MPa Wz 6.48

s max

M max 67.5 104 104.2MPa Wz 6.48

120 + qL2 8 Mmax x

求曲率半径EI z 200 5.832 1 10 194.4m M1 60

M M1

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§5-3 梁横截面上的剪应力 一、 矩形截面梁横截面上的剪应力 x y

dx图a

1、两点假设： 剪应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，剪应力 相等。 2、研究方法：分离体平衡。

M ( x)Q(x) dx

Q(x)+d Q(x)图b M(x)+d M(x) z

在梁上取微段如图b;x 在微段上取一块如图c,平衡 图c

t1

s

ty

s1

X N

2

N1 t1b(dx) 0

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M * N1 * sdA A Iz

* MS * z y d A A* Iz

x y

dx图a

* ( M + dM ) S z N2 Iz

M ( x)Q(x) dx

Q(x)+d Q(x)图b M(x)+d M(x) z

* * dM S z QSz t1 dx bI z bI z

由剪应力互等

QS * t t ( y) t1 bI z h* z * c *

t1

s

ty

x

S y A 2

+y

s1

2

h b h2 b( y) ( y 2 ) 2 2 4

图c

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Q

t 矩

Q h2 ( y2 ) 2I z 4

3Q t max 1.5t 2 A t方向：与横截面上剪力方向相同；

t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。 二、其它截面梁横截面上的剪应力 1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：

t 1 QS

* z

* 其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；

bIz

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Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。 2、几种常见截面的最大弯曲剪应力 ①工字钢截面：

tmax

Q Af

; Af —腹板的面积。

t min t max结论： 翼缘部分tmax« 腹板上的tmax,只计算腹板上的tmax。 铅垂剪应力主要腹板承受(95~97%),且tmax≈ tmin Q 故工字钢最大剪应力 tmax ; Af

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②圆截面：

t max

4Q 4 t 3 A 3

③ 薄壁圆环：

t max

Q 2 2t A

④槽钢：

Q

* QSz 腹板上t ; 合力为R,R Q bIz QA* 翼缘上t 1 ; 合力为H。 2I z

e P z x y Q

M

x

(tdA)d 力臂 0A

e

Hh R

e

h