构造全等三角形证明竞赛题

构造全等三角形证明竞赛题

构造全等三角形证明竞赛题

江西 安义人

全等三角形是能够完全重合的两个三角形，它们的对应边相等，对应角相等。对于某些竞赛题，考虑构造全等三角形并利用这两个相等，可使其解答巧妙、迅捷。

一、与线段相等有关的竞赛题

例１（成都市初二数学竞赛题）如图１，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PD＝PE。求证：AC＝AB。

简证：连AP。

因为∠PDA＝∠PEA＝90°，PD＝PE，PA＝PA， 所以Rt△PDA≌Rt△PEA（HL）。 所以AD＝AE。

因为∠１＝90°－∠CAB＝∠２， 所以Rt△ACE≌Rt△ABD（AAS）。 所以AC＝AB。

F

A

EBAB

图１ 图２

例２（天津市初二数学竞赛题）如图２，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E。求证：BE＝

1

AD。 2

简证：延长BE、AC交于点F。

因为∠１＝∠２，AE＝AE，∠AEB＝∠AEF＝90°， 所以△AEB≌△AEF（ASA）。 所以BE＝FE＝

1

BF。 2

因为∠３＝90°－∠F＝∠２，BC＝AC, 所以Rt△BCF≌Rt△ACD（ASA）。 所以BF＝AD，BE＝

1

AD。 2

二、与角相等有关的竞赛题

例３（赣州市初三数学竞赛题）如图３，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD是中线，CE⊥BD于点E，交AB于点F。求证：∠ADF＝∠CDE。

简证：过点A作AG⊥AC交CF的延长线于点G。 因为∠１＝90°－∠３＝∠２，AC＝BC， 所以Rt△CAG≌Rt△BCD（ASA）。 所以AG＝CD＝AD，∠G＝∠CDE。 因为∠４＝45°＝∠５，AF＝AF,

构造全等三角形证明竞赛题

所以△ADF≌△AGF（SAS）。 所以∠ADF＝∠G＝∠CDE。

G

B

A

A

EB

图３ 图４

例４（上海市初中数学竞赛题）如图４，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，AE＝

1

（AD＋AB）。求证：∠ADC＋∠ABC＝180°。 2

简证：过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F。 因为∠２＝∠３，AC＝AC，

所以Rt△ACF≌Rt△ACE（AAS）。 所以CF＝CE，AF＝AE。

因为AD＋AB＝２AE，AB＝AE＋EB， 所以EB＝AE－AD。 因为FD＝AF－AD， 所以EB＝FD。

所以Rt△CEB≌Rt△CFD（SAS）。 所以∠ABC＝∠5。

所以∠ADC＋∠ABC＝∠ADC＋∠５＝180°。