高数作业第一章疑难题答案

第1次作业

二选择题

4， 下面三个函数中，不是初等函数的是（ ）；

A,y={ B,y={

x,0?x?12?x,1?x?2;

x,x?0?x,x?0

C,y=sgnx

解答：基本初等函数：幂函数 y=x ，指数函数 y=a ，对数函数 y=loga ，三角函数 ，反三角函数，初等函数和基本函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数。

axx第2次作业

四，根据数列极限定义证明

1，lim (n?1?n)=0

n??2证明: lim (n?1?n)=limn??21n?1?n2n??

0<

1 n2n?1?n2<

1对于任给的??0，取N=[

1]于是当n>N时，有 2?1n?1?n2-0

3n?n33, lim? n??2n2?12证明：

?0???1,限定n?3,对于任给的??0，取N=max{3,[

13?]},于是当n>N2?2时，有

3n2?n32n?332n2?1?2=

2(2n2?1)<

2n?4n2?9<12n?3

五，对于数列 {xn }，若x2k?1 ?a (k??) , x2k ?a 证明：xn?a(n??). 证明：???0

{

?k1?0,?k?k1,x2k?a???k2?0,?k?k2,x

2k?1?a??取N=max{2k1,2k2-1}, 故xn?a??。

第3次作业

三，用极限定义证明下列极限

1，limn??cosx?cosx0

证明：???0,要使cosx?cosx0=

sin(x?x0x?x02)sin2 ?

2sinx?x0?x02?2x2?x?x0??

取???

四，讨论函数在点 x=0 的极限是否存在。

1， f(x)=

?x?x;

x?(0,1],xlim?x??0?x?0

(k??) ,

x?0lim??x????

x

1sin,x?0x2， f(x)={

1xsin,x?0xsin

11,x=2k?,sin?0, xx1 x=2k???2, sin 2k???2?1

第4次作业

一， 填空题

x?etx3， 函数f(x)=lim 的表示式为f(x) =______________;

t???1?etxx?1txelim?1,x?0t???1?1txetxx?e1解: f(x)=lim ,f(x)={ ,x?0txt???1?e2x,x?0

二， 选择题

x2?1x?1e 的极限是（ ）2，当x?1时，函数 ； x?1

A,等于2； B, 等于0 C,为 ? D, 不存在但不为 ? 。

1x2?1x?1解：x?1时,lim e=lim(x+1)ex?1

x?1x?1x?1x2?1x?11?x?1时,<0,即lim?e=0

x?1x?1x?1x?1时,lim? (x+1)e

x?1111?1x?1=lim?(x+1)e?=?,

x?11x?1? lim (x+1)e

x?1?1x?1?lim (x+1)e

x?1?

所以，不存在，且不为? 。

第四次作业

三计算下列极限 3、limn??1?x?1?x31?x?1?x3

?11?x?1?x2解：原式=limx?0(1?x)?(1?x)31?x?1?x3

23 =limx?0(1?x)2?31?x?3(1?x)1?x?1?x

= 4、limx?032cosx?cos2x???coxnx?n

cosx?1解：设t=cosx x?0时，t?1

原式=limt?1t?1?t2?1???tn?1

t?1 =lim[1?(t?1)?(t2?t?1)???(tn?1?tn?2???1)]

t?1 =1+2+3+??(n-1)

=

n(n?1) 2四、证明题

2、证明f(x)=xcosx在（??,??)内无界，且当x??时，f(x)不是无穷大量。

证明：（1）?M?0,?x0?2k?,2k??M,有f(2k?)?2k??M存在， ?f(x)?xcosx在（-?,??)内无界 （2）反证法：假设x??时，y=xcosx是无穷大

则??.0,总存在X〉0，使对x.?X均有f(x)?? 但x0=2(x+1)??f(x0)?2(x?1)???2,满足

?cos2(x?1)???2?2?0??,矛盾。

?当x??时，f(x)不是无穷大

第五次作业

一、 填空题 2、lim(x?02?e1?e1x4x?sinx) x1x解：当x??0时，设t=e,则t???,原式=lim(t???2?t?1)?1 41?t当x??0时，原式=lim(x?0?2?e1?e1x4x?sinxsinx)?2?lim?1 xxx??0f(0+0)=f(0-0)=f(0)=1 所以原式=1 二、 计算题