第一章第3讲命题及其关系、充要条件

第3讲 命题及其关系、充要条件

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

若原命题为“若p ，则q ”，则其逆命题是若q ，则p ；否命题是若綈p ，则綈q ；逆否命题是若綈q ，则綈p ．

(2)四种命题间的关系

(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件

(1)“若p ，则q ”为真命题，记作：p ?q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．

(2)如果既有p ?q ，又有q ?p ，记作：p ?q ，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件．

[做一做]

1．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则有|a |＝|b|”的逆命题是( )

A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |

B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |

C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b

D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b

答案：D

2．命题“若α＝π4

，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4

，则tan α≠1 B ．若α＝π4

，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4

D ．若tan α≠1，则α＝π4

答案：C

3．(2014·高考浙江卷)设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD.当四边形ABCD 中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．

1．辨明两个易误点

(1)易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．

(2)注意区别A是B的充分不必要条件(A?B且B A)；与A的充分不必要条件是B(B ?A且A B)两者的不同．

2．充要条件常用的三种判断方法

(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．

(2)等价法：利用A?B与綈B?綈A，B?A与綈A?綈B，A?B与綈B?綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

(3)利用集合间的包含关系判断：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

[做一做]

4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：“________”．解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，

结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．

即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．

答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角

5．“1

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

,[学生用书P8～P9])

考点一__四种命题及其相互关系________________

(1)(2014·高考陕西卷)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()

A．真，假，真B．假，假，真

C．真，真，假D．假，假，假

(2)(2015·南通一调)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的________．(从“逆命题，否命题，逆否命题，否定”中选一个填空)

解析：(1)原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.

(2)命题p的逆命题：“若a的平方不等于0，则a是正数”；

命题p的否命题：“若a不是正数，则它的平方等于0”；

命题p的逆否命题：“若a的平方等于0，则a不是正数”；

命题p的否定：“至少有一个正数的平方等于0”．

所以p是q的否命题．

[答案](1)B(2)否命题

[规律方法]判断四种命题间关系、真假的方法

(1)写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写，当一个命题有大前提时，写其他三个命题时，大前提需要保持不变；

(2)当一个命题直接判断真假不容易进行时，可转而判断其逆否命题的真假．

1.以下关于命题的说法正确的是______(填写所有正确命题的序号)．

①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；

②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；

③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题．

解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确．综上可知正确的说法有②.

答案：②

考点二__充分条件、必要条件的判断(高频考点)____

充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的亮点．常以选择题、填空题的形式出现，作为一个重要载体，考查的数学知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：

(1)判断指定条件与结论之间的关系；

(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；

(3)与命题的真假性相交汇命题．

(1)(2014·高考广东卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()

A．充分必要条件B．充分非必要条件

C．必要非充分条件D．非充分非必要条件

(2)(2015·郑州市第二次质量预测)函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是()

A．ab＝0 B．a＋b＝0

C．a2＋b2＝0 D．a＝b

(3)给出下列命题：

①“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n＋1}为等比数列”的充分不必要条件；

②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；

③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；

④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．

[解析](1)由正弦定理，知a≤b?2R sin A≤2R sin B(R为△ABC外接圆的半径)?sin A ≤sin B．故选A.

(2)f(x)为奇函数且x∈R，故f(0)＝0?b＝0.

又f(－x)＝－f(x)，即－x|－x＋a|＝－x|x＋a|，得|x＋a|＝|－x＋a|，|x＋a|＝|x－a|恒成立，需a＝0.综上可知，a＝b＝0，即a2＋b2＝0，故选C.

(3)对于①，当数列{a n}为等比数列时，易知数列{a n a n＋1}是等比数列，但当数列{a n a n＋1}

为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1，3，2，6，4，12，8…显然不是等比数列，而相应的数列3，6，12，24，48，96…是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤ …… 此处隐藏：8558字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……