高考数学(理)一轮讲义：第32讲 不等关系与不等含答案

第六章 不等式、推理与证明 第32讲 不等关系与不等式

考纲要求

考情分析

命题趋势

1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法：????

?

a －

b ＞0?a __＞__b ，a －b ＝0?a __＝__b ，

a －

b ＜0?a __＜__b .

(2)作商法：?????

a

b

＞1?a __＞__b (a ∈R ，b ＞0)，a

b ＝1?a __＝__b (a ∈R ，b ＞0)，

a b ＜1?a __＜__b (a ∈R ，b ＞0).

2．不等式的基本性质

(1)倒数的性质

①a ＞b ，ab ＞0?1a __＜__1b

. ②a ＜0＜b ?1a __＜__1b

. ③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ?a c __＞__b d

. ④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0?1b __＜__1x __＜__1a

. (2)有关分数的性质

若a ＞b ＞0，m ＞0，则：

①b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m

(b －m ＞0)． ②a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m

(b －m ＞0)．

1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a ＞b ，a ＝b ，a ＜b 三种关系中的一种．( √ )

(2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × )

(3)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( × )

(4)同向不等式具有可加和可乘性．( × )

(5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( √ )

解析 (1)正确．两个实数a ，b 之间的大小关系只有三种．

(2)错误．同乘以一个负数或0时不等号改变．

(3)错误．如－2<2，而－12＜12

. (4)错误．同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性，如1＜2，－3＜－2，但－3>－4.

(5)正确．当这个比值中的分母小于零时，分子小于分母，当这个比值中的分母大于零

时，分子大于分母．

2．下列四个结论，正确的是( D )

①a ＞b ，c ＜d ?a －c ＞b －d ；

②a ＞b ＞0，c ＜d ＜0?ac ＞bd ；

③a ＞b ＞0?3a ＞3

b ；

④a ＞b ＞0?1a 2＞1b 2. A ．①②

B ．②③

C ．①④

D ．①③ 解析 利用不等式的同向可加性可知①正确；对②根据不等式的性质可知ac ＜bd ，故②

不正确；因为函数y ＝x 13

是单调递增的，所以③正确；对④由a ＞b ＞0可知a 2＞b 2＞0，所以1a 2＜1b 2，所以④不正确，故选D ． 3．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( D )

A ．a c ＞b d

B ．a c ＜b d

C ．a d ＞b c

D ．a d ＜b c

解析 因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0.即得1－d ＞1－c ＞0，又a ＞b ＞0，得a －d ＞b －c

，从而有a d ＜b c

. 4．设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则( D )

A ．ac ＞bc

B ．1a ＜1b

C ．a 2＞b 2

D ．a 3＞b 3

解析 y ＝x 3在(－∞，＋∞)上为增函数，所以a 3＞b 3.

5．下列各组代数式的判断正确的是__①③④__.

①x 2＋5x ＋6＜2x 2＋5x ＋9；

② (x －3)2＜(x －2)(x －4)；

③当x ＞1时，x 3＞x 2－x ＋1；

④x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)．

解析 ①2x 2＋5x ＋9－x 2－5x －6＝x 2＋3>0；

所以x 2＋5x ＋6＜2x 2＋5x ＋9，故①正确．

②(x －3)2－(x －2)(x －4)＝1，

所以(x －3)2＞(x －2)(x －4)，故②错误．

③当x ＞1时，x 3－(x 2－x ＋1)＝(x －1)(x 2＋1)＞0，

所以当x ＞1时， x 3＞x 2－x ＋1，故③正确．

④x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0，

所以x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)，故④正确．

一 比较两个数(式)的大小

比较大小的常用方法

(1)作差法：其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论．用作差法比较大小的关键是变形，将差式变成乘积的形式，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法．

(2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论．要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负进行判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．

(3)单调性法：利用有关函数的单调性比较大小．

(4)特殊值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特殊值验证法比较大小．

【例1】 (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( B )

A ．M ＜N

B ．M ＞N

C ．M ＝N

D ．不确定

(2)对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式：

①log a (1＋a )＜log a ????1＋1a ；②log a (1＋a )＞log a ????1＋1a ；③a 1＋a ＜a 1＋1a ；④a 1＋a ＞a 1＋1a

.其中成立的是( D )

A ．①与③

B ．①与④

C ．②与③

D ．②与④ (3)若a ＝ln 33，b ＝ln 22

，则a 与b 的大小关系为__a ＞b __. 解析 (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1

＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)，

又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1＜0，a 2－1＜0.

∴(a 1－1)(a 2－1)＞0，即M －N ＞0.∴M ＞N .

(2)当0＜a ＜1时，(1＋a )－????1＋1a ＝(a ＋1)(a －1)a

＜0， 则1＋a ＜1＋1a

，因此②④成立． (3)∵a ＝ln 33＞0，b ＝ln 22＞0，

∴a b ＝ln 33·2ln 2＝2ln 33ln 2＝ln 9ln 8

＞1，∴a ＞b . 二 不等式的性质及应用

(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．

(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．

【例2】 (1)已知a ，b ，c ，d 为实数，则“a ＞b 且c >d ”是“ac ＋bd ＞bc ＋ad ”的( A )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

(2)若1a ＜1b

＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②||a ＞||b ；③a ＜b ；④ab ＜b 2中，正确的不等式有( C )

A ．①②

B ．②③

C ．①④

D ．③④

解析 (1)因为c ＞d ，所以c －d ＞0.又a ＞b ，所以两边同时乘以(c －d )，得a (c －d )＞b (c －d )，即ac ＋bd >bc ＋ad .若ac ＋bd ＞bc ＋ad ，则a (c －d )＞b (c －d )，所以可能a >b 且c >d ，也可能a ＜b 且c ＜d ，所以“a ＞b 且c >d ”是“ac ＋bd >bc ＋ad ”的充分不必要条件．

(2)因为1a ＜1b

＜0，所以b ＜a ＜0，a ＋b ＜0，ab ＞0，所以a ＋b ＜ab ，||a ＜||b ，在b ＜a 两边同时乘以b ，因为b ＜0，所以ab ＜b 2.因此正确的是①④.

三 利用不等式的性质求范围

应用不等式性质求范围问题的注意点

应用不等式的性质求某些代数式的取值范围应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通 …… 此处隐藏：6080字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……