4.1分析2线性方程组直接解法(1)

第三 章线性方程组

直接解法(上)

第三章目录§1. Gauus 消元法 §2. 主元素法 2.1 引入主元素法的必要性 2.2 列主元素法 2.3 全主元素法 2.4 解三对角方程组的追赶法 §3. 矩阵分解法 3.1 Gauss消去法的矩阵形式 3.2 矩阵的三角分解 3.3 直接三角分解法 §4. 平方根法与改进的平方根法 §5. 矩阵求逆 §6.方程组的性态和条件数

在科学研究和工程技术中所提出的计算问题中，线性 线性方程组的概念 方程组的求解问题是基本的，常见的，很多问题如插值函 数，最小二乘数据拟合，构造求解微分方程的差分格式等 ，都包含了解线性方程组问题，因此，线性方程组的解法 在数值计算中占有较重要的地位。 设n阶线性方程组：a11 x1 a12 x2 a1n xn b1

a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 (2 - 1) an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 其矩阵形式为：

Ax=b (2-2)其中：

a11 a12 a1n x1 b1 a21 a22 a2n x2 b2 A ,x : ,b ∶ x b a a a nn n n n1 n 2

线性方程组的概念(续)如果线性方程组Ax = b的系数行列式不为零， 即det(A) 0,则该方程组有唯一解。 求解Ax = b,曾经学过高斯(Gauss)消元法， 克莱姆(Cramer)法则，矩阵变换法等，但已远 远满足不了实际运算的需要，主要体现两个方面： 一是运算的快速和准确，其次是方程组的个数增 大时的计算问题。如何建立能在计算机上可以实 现的有效而实用的解法，具有极其重要的意义， 我们也曾指出过，Cramer法则在理论上是绝对正 确的，但当n较大时，在实际计算中却不能用。

线性方程组的数值解法解线性方程组的数值方法大致分为两类： 1. 直接法：指假设计算过程中不产生含入误差，经过有 限步四则运算可求得方程组准确解的方法。 2. 迭代法：从给定的方程组的一个近似值出发，构造某 种算法逐步将其准确化一般不能在有限步内得到准确解。 这一章介绍计算机上常用的直接法，它们都是以Gauss 消元法为基本方法，即先将线性方程组化为等价的三角形 方程组，然后求解。 请注意：由于在计算中某些数据实际上只能用有限位 小数，即不可避免地存在着舍入误差的影响， 因而即使是准确解法，也只能求到近似解。 直接法在求解中小型线性方程组(≤100个), 特别是系数矩阵为稠密型时，是常用的、非常好的方法

§1 Gauss消元法Gauss消元法是最基本的一种方法，下例说明其基本思想:

例1 解线性方程组：x1 x2 x3 6

12 x1

3 x2 3 x3 15 18 x 3 x x 15 1 2 3

(2 - 3)

解：消去x1,进行第一次消元：首先找乘数，以 -12乘第一个方程加到第二个方程，以18乘第一个 方程加到第三个方程上可得同解方程组： x1 x2 x3 6 (2 - 3)(a) 15 x2 9 x3 57 21x 17 x 93 3 2

例1(续) 再消一次元得： x1 x2 x3 6 二次消元后将方程化为 15 x2 9 x3 57 22 66 倒三角形式，然后进行 x3 5 5 (2 - 3)(b)

回代容易解出： x3 = 3, x2 = 2, x1 = 1。 上述Gauss消元法的基本思想是：先逐次消去变量，将 方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过 程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原 方程组的解，此过程称为回代过程。 我们的目的，是要总结归纳出一般情况下的n阶线性方程 组的消元公式和回代求解公式，从而得到求解n阶线性方 程组的能顺利在计算机上实现的行之有效的算法。

(1 (1 (1 (1 ( a11) x1 a12) x2 a13) x3 a14) x4 b1 1) Gauss消元法的基本步骤1(4阶) (1) (1) (1) (1) (1) a21 x1 a22 x2 a23 x3 a24 x4 b2 为能更清楚地得到算法，下面以4阶线性方程组为例总结 (2 - 4) (1) (1) (1) (1) (1) 求解步骤，并且很容易地可推广至一般的n阶线性方程组。 a31 x1 a32 x2 a33 x3 a34 x4 b3 a (1) x a (1) x a (1) x a (1) x b (1) 42 2 43 3 44 4 4 41 1

统一加上标, 并简记为A(1) x b(1) , A(1) A, b(1) b, 首先消元 :(1 a 21) (1 a11)

(1 第一步 : 找乘数, 假定a11) 0, 要消第二个方程中 1 , 可以 x (1 a 21) (1 a11) (1 a31) (1 a11)

为乘数, 分别

而以

乘第一个方程加到第二 个方程中, 并以

,

(1 a 41) (1 a11)

乘第一个方程加到第三 第四个方程上消x1 , 这些乘数实际上可记为 , l 21 (1 a 21) (1 a11)

, l31

(1 a31) (1 a11)

, l 41

(1 a 41) (1 a11)

或记为li1

1 ai(1 ) (1 a11)

(i 2,3,4)

Gauss消元法的基本步骤2(4阶)可以检查，分别以 li1乘第一个方程加到第i个方程上 可以完成第一次消元，得同解方程组：

a x a x a x a x b 变化以后的方 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) a22 x2 a23 x3 a24 x4 b2 程组系数及右 (2 - 4)(a) 边的常数项可 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) a32 x2 a33 x3 a34 x4 b3 总结出如下的 (2 (2 (2 计算公式： a42) x2 a43) x3 a44) x4 b4( 2) (1) 11 1 (1) 12 2 (1) 13 3 (1) 14 4 (1) 1

( ( aij2 ) aij1) li1a1(1j) ( 2 ) (1) bi bi li1b1(1)

i, j 2,3,4

完成第一次消元之后 的方程组记为：

A(2) x = b (2)

Gauss消元法的基本步骤3(4阶)以方程组中第i个方程减去第二个方程乘li2 (i = 3,4),完 成第二

次消元。 (1) (1) (1) (1) (1)2 ai(2 ) 第二步 : 消x2 , 首先找到乘数 li 2 ( 2 ) , i 3,4 a22

上标为3的系数 ( ( ( aij3) aij2 ) li 2 a 22j) 和右端项可由 下面公式计算： ( 3) ( 2) ( 2)

a11 x1 a12 x2 a13 x3 a14 x4 b1 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) a22 x2 a23 x3 a24 x4 b2 (2 - 4)(b) ( 3) ( 3) ( 3) a33 x3 a34 x4 b3 (3 (3 a43) x3 a44) x4 b4(3) bi bi li 2 b2 i, j 3,4

Gauss消元法的基本步骤4 第三步：消元(4阶方程组需进行3次消元) 将上述 A (3) X = b(3) 中最后一个方程中的x3消为零： (4阶)(3 a 43) 找乘数 l43 ( 3) ,以第四个方程减去第三个方程乘 l43得： a33

(1 (1 (1 (1 a11) x1 a12) x2 a13) x3 a14) x4 b1(1) 经过上述消元步骤， 得到同解的上三角形 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) a22 x2 a23 x3 a24 x4 b2 (2 - 4)(c) 方程组：A (4) x = b(4) ( 3) ( 3) ( 3) a33 x3 a34 x4 b3 然后可回代求解：由于A(4) ( 4) ( 4) a44 x4 b4 为上三角形，所以可按变 量的逆序逐步回代求原方 (4 程组的解： x4 b4( 4) / a44) 4 上述 消元、回代求解过程 (k ) (k ) (k ) xk (bk akl xl ) / akk , k 3,2, 1 (2 - 5) 很容易推广到一般的n阶线 l k 1 性方程组。

(1 (1 ( a11) x1 a12) x2 a11) xn b1(1) (n Gauss消元法的消元过程1、2 n (1) (1 ( ( 阶) a21 x1 a22) x2 a21) xn b21) n 一般地，设 (2 - 6) n阶方程组： a (1) x a (1) x a (1) x b (1) 消元过程为： n1 1 n2 2 nn n n (1 第一步 : 设a11) 0, 记li1 1 ai(1 ) (1 a11)

(i 2,3, , n)将方程组中第i …… 此处隐藏：4014字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……