3.3随机向量函数的分布

§3.

3随机量向函数分布

的.3.3 离散1型随向量机函数的分(布 XY,) 二是随维向量机 则g, X (Y ,)是(X Y ,的)一函个数, 显然 g, X ,Y (也是一个)随变机量.其概 率分布如 下

P{ :Z z k }{ Pg( X ,Y )k }z X 1xx2 xi Y y1p1 1 2p1 i1 py p12 p222 ip 2

g( xi, y j ) zk P {X x , Yy}i j

j py1j 2p j pj i

行适当 整进理与项并

例

1:随设机量 向(X ,Y )的联合 率分概如下 :布YX 21 1 22 21 2 2

1 1 12 1 11203 1

2 1

2 31

02 21

0试 : 求(1 )X Y ;(2 XY的概率)布分X Y (1 ) P3 3 1 2 21 132 1 12212 2 11 2 12 1 1 2 1 322 01 2

2 012

X Y 3 P1 12

2 112 1312

3 2

1 21

12

223 21 12

2 121XY( 2) P1 2 01 1 0 6 3 0 2 1 1 2 1 2 23 0012 12 2 12 11 1221 221 0 1 212 12 11 2 2 16

X2 YP1 15 1 221 12

例2 设X ,:是两Y相互独个的随立 机变量, 分别从参服数 1为, 的

2泊松布, 求分 X Y的分 布

. 解 :P { k } P{X Y k }kk X ~P ( ) P{, Xk } kk!e P X { i,Y k i } P { X i P}{Y k i}

i 0

i 0

i k 0i 1

!ie

1

i k 2

( k i !)e

2

e

( 1 )

2!(ki i !)i 0k

ki i 12

k iie ( 1 2 ) kk !1 2 e ( 1 2 )k i k ii kC 1 2 k ! i 0 i !(k i ) ! k i! 0(1 2 ) k (1 ) e 2!kk ,1,2,0 泊分布松有具可加性.

EX : 已( X , 知 Y)概的分率由布给出 表,求X Y 的概率布。分

YX 21 1 0 20.2 01. .0 3.010 . 201.

解答X :Y可以取 ,3 ,021,3,共个五值X Y P 3 20.2 00.

10 .42

0 .310 .1

3.

3. 连续型2机随向函数量的分(布X ,Y 是)二维连型续随向机量 概率,度密函数为 f x, (y) 则,g(X ,Y 是() ,XY 的)个一数.函分布函数法:()FZ ( z1) { PZ z} P g{( X, Y) z 令D}z { (, x) g( y,xy) }z P ({ ,YX) zD} f( x, y)xdydz

(D) (z2 )fZ ( z ) F Z

e x y x 0 ; y 例3 : 0 X Y, ~ f x y , , 他其 0 求Z X 的Y概密度函数. 率y(1F ( )z) P( Z z) P ( X Y z ) f ( x ,)dxyyd xy z

z z y ( x y ) ( z ) 0 0xdy d 0ez y (e

0 z (时，FZ0( z) )0

e ) yd z

0x

1 e z e zz(z )0

()z( ) f2Z (z ) F Z (1 e z ze z ) z e z (z 0 )ze z以所,f z z() 0 z 0 其他

机随量变的和布分(设X ,Y ) 联的合度函数为密 f (, x), y求 X Y的 密函数 .度解 : z, z D {( x ,y) x y z,} 如:图y

(1)Z ( zF) P { Z}z P { X Y z} f( x,y )d xdyDz

x yz

z y [ f( x , )yd]dxy

x0 z x t y [ f ( ty ,y )dtd]yz [ f ( t y, y dy]d)

t (t ) (z)

( z) () 2 f ( Z z) ZF

f( z y y,)d y

由称性对 f Z:( z ) (f , z x)xxd

当与XY独时,立有 :

f( ,x ) y f X ()x Y ( f)

y (, x)y

f Z z( ) f X ( zy f)Y y( dy)这两个公称式卷为积 公.式 Z (f )z f X (x) fY (z x ) dx e x y 例. X Y , ~ f x,y 0 求 Z X Y的 率密概函数度. f Z( z ) f (X yz f)Y y()d y

x ;y 0 0 ,其他 x( y, 0)

解易见X:Y与独立,即有: f (x, y) fX ( x) fY ( y)( y 0 x , z y 0) z 0

e0

z z (y ) e yd e dz yez z

y( z 0

)z e 所z以 f, z( z)

z00 其他

理 两定个立的正独随机变 态之量仍然服和从态分 布正 .即若 iX ~ N( i , i 2) , i ,2, 1并X且1 与 2X 立独,2 Y 则 X X 12~ N ( 1 2, 21 2 ) .正态布分可的性加推论有限个 独立正的变量 态线性函的仍数服从正 分布态.P 93 () 2 2X ~ ( 1N, 1 2 ),Y ~ N (2 2,) 则,aX b Y N~ a( 1 b2 , a 2 1 2 2 b2 )

例4

:最大值与小值最设X Y,的分函数布分为F别( x),( xG), 密度数函分别f (为x ), g ( x), X且Y相互与独立令M,=ma{Xx, Y , }N mi n{ X ,Y }, M求和N 分的函布数密度函数与解：。( 1)F ( M z ) P{ M z} P {X z , Yz} P { Xz}P Y { z} F (z G)(z ) (z )( F z()G (z ) ) f ( z )G z ( ) F( z)g( z)f M (z ) M

F()2F ( N z) P {N z} P({ X z } {Y }z) 1 { P X , Y z}z

1 P X { }zP{ Yz } 1 1 [F (z )][ 1 (G )z] z( ) f z ()[1 G( z ) g(]z [1) F z()] f N( z) NF

3

.3. 3机向量的函数数随期学设望X是一机变量 ,Y随 g X(), 且 E[g ( X])存, 则在 有:( 1若)X离散型 为 p{, Xn xn } p n , n 1,,2 ,则 E[g ( X ] ) g ( n x pn)n

(2 )X为若续型连 设,X ~f ( ),x有 E[ ( X g]) g x)( f( x) xd Th :设g( X , Y是)随变机X量, Y 函的数 g(一个是二元续连函数),且 [E (gX ,Y ) ]存.在[ Eg(X Y )] , (g xi ,y j p)ji i

j()( X 1 , )是Y离散型:2(( ) X, Y)连续型是:( pj为联合概率i分布) E[ g(X , Y ])

g( x , y) f( x ,y ) dxyd( f ( , y )为x联合率概密度) 8

x 0y x y 1 1 :例设( X , Y的密)度函数为f ( x , y) , E求YX 他 0

其2 :例 离散型随设机量向 ( ,Y )的X率分布为概Y X 11 1 .0 301 . 000. 2 0.13 0.1EXY求

XYP 01 1 .0 042 .04.

3..24随机变 和与量积的期望性1质: 随设机变X1 , X量2 , X n的期望,都在 ,

则 ( XE1 X 2 X n ) X1 E XE2 X Enpr: 以二维离 型散机向量 ( 随 X, Y 为)例 ,设联合其概分率布 pi为j :E( XY ) xi( y j ) p ij ij

x iijp yj pi j x iip y p j j XE EYi j i

ji

j

二维连型续及维n形情可同理明 .特别的证1n 1 En( X i ) EXi n i 1 n i 1

性

2 :设质X与独Y立, 望期X , EYE都在,存则 推广:X1 若 X ,2, ,X n 相互立独 ,期且望都在,存则

(E Y X) EX EY 反例见下

例E ( X 1 2 X X n ) EX1 E 2X EX

n(

X, Y)的概率分由布表定确 判断,例 :已 二维随知向量机( 1)X与 是否Y立独(?) E2( XY )与 X EEY是 否相?等 :解(1 ){P X 1, Y 1} 03Y

而P.{X 1 P{Y} } 1 0 6. 04 . 0 .2 X 4 所以,1 X与不独立.Y 1

0.3 101.0 00 .2

10 . 036 0.. 10.4

…… 此处隐藏：2101字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……