几何体与球的切接问题

方法技巧专题

——几何体与球的切接问题

南充高中数学组 陈 龙

高考链接

柱、锥、台、球等简单几何体的结构特征，是立体几何的基础，而它们的表面积与体积（尤其是体积）是高考热点，其中几何体与球的切接问题出现频率较高！

一、知识准备

1、表面积公式

S圆拄 2 r2 2 rl（r为底面积半径，l为母线长）

S圆锥 r2 rl（r为底面积半径，l为母线长）

S球 4 R2 （R为球半径）

2、体积公式

V柱 Sh（S为底面积面积，h 为高）

V锥

V球1Sh（S为底面积面积，h为高） 34 R3（R为球半径） 3

3、定义

多面体的外接球——若多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球 的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

多面体的内切球——若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是 这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

二、几何体的外接球

题型一、球与多面体的组合

解题关键：通过多面体的一条侧棱和球心，或接点作出截面图。

例1 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，求该球的表面积为和体积。 分析：S球 f(R) V球 g(R) 需要求出半径。

解决途径：作出截面图，在轴截面中建立关系。

常用结论：长（正）方体的外接球直径是长（正）方体的体对角线。

变式1 求长、宽、高分别为1、2、3的长方体的外接球体积。

变式2 P、A、B、C是球O面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC=a，求这

个球的体积。

分析：采用割、补法，化复杂的几何体为简单几何体（拄、锥、台），化离散为集中。此题 可将条件给出的几何体“补形”成一个正方体再求外接球体积。

例2 求棱长为1的正四面体ABCD的外接球体积。

分析：作出合适的球的轴截面图，找准球心位置，构造三角形求解半径。 常用结论：正四面体外接球的球心在高线上，半径是正四面体高的3 4

解法一、

解法二、

变式3 已知各顶点都在一个球面上的正四棱拄高为4，体积为16，求这个球的表面积。 变式4 等腰梯形ABCD中，AB 2CD 2, DAC 600,E为AB的中点，将△ADE 和△BEC分别沿ED、EC折起，使A、B重合与点P，则三棱锥PEDC的外接球 体积为（ ）

变式5 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，

则四面体ABCD的外接球的体积为( )

题型二、球与旋转体的组合

例3 半径为R的3球O中有一内接圆柱，当圆柱侧面积最大时，求球的表面积与圆柱的

侧面积之差。

分析：作出正确的轴截面图，找准圆柱底面半径与球半径之间的关系。

三、几何体的内切球

解题关键：找正多面体的内切球半径往往可以用等体积法

例4 求棱长为a的正四面体的内切球半径。

分析：并非所有多面体都有内切球，正多面体存在内切球，且正多面体的中心为内切球球心。 常用结论：正多面体内切球半径是高的11；V多 S表 R内切 43

变式4：求半径为R的球的外切圆柱（球与圆柱的侧面、两底面都相切）的表面积和体积

直击高考

（2009全国）直三棱柱ABC-A1B1C1D 的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2， BAC 120，则此球的表面积等于。

（2011新课标）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2， 则棱锥O-ABCD的体积为。 0