2013届高考数学(理)一轮复习课件：第八篇 立体几何专题四 高考立

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专题四 高考立体几何命题动向

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高考命题分析 立体几何主要包括柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特 征、三视图，点、直线、平面的位置关系等.

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高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重 考查空间中点、线、面位置关系的判断及空间角等几何量的计 算，既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形 式出现的试题.一般来说，选择题、填空题大多考查概念辨 析，位置关系探究，空间几何量的简单计算求解等，考查画 图、识图、用图的能力；解答题多以简单几何体为载体，考查 直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，综合考查 空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.试题在突出对 空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直的探究，关注对 条件和结论不完备情形下开放性问题的探究.

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高考命题特点 立体几何在高考中占据重要的地位，通过分析近几年的高考情 况，可以发现对立体几何问题的考查已经突破了传统的框架， 在命题风格上，正逐步由封闭性向灵活性、开放性转变.因 此，如何进一步把握复习的重点，提高复习效率，从而快速地 突破立体几何难点是高考复习过程中必须认真考虑的问题.近 几年高考对立体几何的考查特点主要表现在以下几个方面：

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(1)从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多 变：除保留传统的“四选一”的选择题型外，还尝试开发了 “多选填空”、“完型填空”等题型，并且这种命题形式正在 不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往 以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关 系，后面几问考查空间角、空间距离、面积、体积等知识，其 解题思路也都是“作证——求”,强调作图、证明和计算相结 合.

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(2)从内容上来看，主要考查：①直线和平面的各种位置关系 的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空 题；②计算角的问题，试题中常见的是异面直线所成的角，直 线与平面所成的角；③求距离，试题中常见的是点与点之间的 距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距 离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方 法；④求简单几何体的侧面积和表面积问题，解此类问题时除 套用特殊几何体的侧面积和表面积公式外，还可将侧面展开， 转化为求平面图形的面积问题；⑤体积问题，要注意解题技 巧，如等积变换、割补思想的应用；⑥三视图，要能辨认空间 几何体的三视图，高考中三视图常与表面积、体积相结合.

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(3)从能力上来看，着重考查空

间想象能力，即对空间几何体 的观察分析和抽象的能力，要求“四会”:①会画图——根据 题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面), 作出的图形要直观、虚实分明；②会识图——根据题目给出的 图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；③会析图 ——对图形进行必要的分解、组合；④会用图——对图形或其 某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术.

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高考动向透视 空间几何体的结构、三视图、直观图本部分在新课标高考中的考查重点是以三视图为命题背景来研 究空间几何体的结构特点和求解几何体的表面积和体积.备考 中，要熟悉一些典型的几何体(如三棱柱、长(正)方体、三棱锥 等)的三视图.近年的新课标高考的命题重点和热点依然是以 选择题、填空题的方式考查以下两个方面：①几何体的三视图 与直观图的认识；②通过三视图和几何体的结合，考查几何体 的表面积和体积.

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【示例1】 (2010· 广东)如图，△ABC为正三 角形，AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC, 3 且3AA′=2BB′=CC′=AB,则多面体ABC A′B′C′的正视图(也称主视图)是( ).

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解析

画三视图时，由内到外CC′为虚线，且虚线所在直线

应垂直平分AB,故选D. 答案 D

三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何 体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质.由空间 几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几 何体的形状，两者之间可以相互转化.

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空间几何体的计算问题本部分是新课标高考考查的重点内容，常以几何体的表面积和 体积的计算以及几何体的外接球、内切球的知识为主要命题点 进行考查.在备考中要牢记一些典型几何体的表面积和体积的 计算公式，以及几何体的棱长与它的内切球、外接球的半径之 间的转换关系.

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【示例2】 (2011· 辽宁)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面 上的两点，AB= 3 ,∠ASC=∠BSC=30° ,则棱锥SABC的体 积为( ).

A.3 3 B.2 3 C. 3 D.1

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解析 由题可知 AB 一定在与直径 SC 垂直的小圆面上，作过 AB 的小圆交直径 SC 于 D,设 SD=x,则 DC=4-x,此时所 求棱锥即分割成两个棱锥 S-ABD 和 C-ABD, 在△SAD 和△SBD 3 中，由已知条件可得 AD=BD= x,又因为 SC 为直径，所以 3 ∠SBC=∠SAC=90° ,所以∠DCB=∠DCA=60° ,在△BDC 3 中，BD= 3(4-x),所以 x= 3(4-x),所以 x=3,AD=BD 3 1 = 3,所以△ABD 为正三角形，所以 V= S△ABD×4= 3.故选 3 C. 答案 C

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本题考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力.本题的 难点在于对三棱锥SABC的结构特征的分析判断，其中的体积

分割法是求解体积问题时经常使用的方法.

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【训练】 (2011· 陕西)如图，在△ABC 中，∠ABC=45° ,∠BAC =90° ,AD 是 BC 上的高，沿 AD 把△ABD 折起，使∠BDC= 90° .

(1)证明：平面 ADB⊥平面 BDC; (2)若 BD=1,求三棱锥 D-ABC 的表面积.

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(1)证明

∵折起前 AD 是 BC 边上的高，

∴当△ABD 折起后，AD⊥DC,AD⊥BD,又 DB∩DC=D, ∴AD⊥平面 BDC,∵AD 平面 ABD, ∴平面 ABD⊥平面 BDC. (2)解 由(1)知，DA⊥DB,DC⊥DA,

∵DB=DA=DC=1,DB⊥DC,∴AB=BC=CA= 2, 1 1 从而 S△DAB=S△DBC=S△DCA= ×1×1= , 2 2 1 3 S△ABC=2× 2× 2×sin 60° 2 , = 1 3 3+ 3 ∴三棱锥 D-ABC 的表面积 S= ×3+ = . 2 2 2