第4章 向量组的秩与线性方程组

第4章 向量组的秩 与线性方程组了解向量组的秩 掌握向量组的秩与矩阵秩的关系 理解齐次线性方程组基础解系的概念 掌握齐次和非齐次线性方程组解的结构及关系

§4.1 向量组的秩一、向量组的等价和极大线性无关组 定义：设两个n维向量组分别为 定义：设两个 维向量组分别为 (Ⅰ) Ⅰ α ,α ,L,α1 2 s

(Ⅱ) Ⅱ

β1, β2 ,L, βt

若向量组 Ⅰ)中的每一个向量都可由向量组 Ⅱ)线 若向量组(Ⅰ 中的每一个向量都可由向量组 中的每一个向量都可由向量组(Ⅱ 线 性表示，而向量组(Ⅱ 中的每一个向量也可由向 性表示，而向量组 Ⅱ)中的每一个向量也可由向 量组(Ⅰ 线性表示 则称向量组 线性表示， 向量组(Ⅰ 与向量组 与向量组(Ⅱ 量组 Ⅰ)线性表示，则称向量组 Ⅰ)与向量组 Ⅱ) 等价。 等价。 等价具有自反性、对称性、传递性 等价具有自反性、对称性、

定义：设α1, α2, …, αm 是一组 维向量，若其中 定义： 是一组n维向量 若其中r 维向量， 满足： 个(为方便不妨设α1, α2, …, αr)满足： 为方便不妨设 1) α1, α2, …, αr 线性无关 2) α1, α2, …, αm 中的任何一个可以由α1, α2, …, ) αr 线性表示。 线性表示。 则称α1, α2, …, αr 是向量组α1, α2, …, αm 的一个极 大线性无关组(简称极大无关组 极大无关组) 大线性无关组(简称极大无关组)。 说明：1)等价； 说明： )等价； 2)不唯一，但各极大无关组所含向量个数相等 )不唯一，

二、向量组的秩 设α1, α2, …, αm 是n维向量组，它的极大无关组 维向量组， 维向量组 所含向量的个数称为向量组的秩， 所含向量的个数称为向量组的秩，记为

r(α1,α2 ,L,αm ) 定理1:设向量组α1, α2, …, αm 中的每一个向量 定理 ： 线性表示， 都可以由向量组β1, β2, …, αp线性表示，则

r(α1,α2 ,L,αm ) ≤ r(β1, β2 ,L, β p ) 推论：等价向量组具有相同的秩 推论：等价向量组具有相同的秩 作业(P138): 作业( ):1 ):

§4.2 向量组的秩与矩阵的秩的关系 Th3:设r个n维向量为 设 个 维向量为

α j = (a1 j , a2 j ,L, anj ) (i =1,2,L, r)T

则它们线性无关的充分必要条件是以它们为列向 量的矩阵的秩等于r。 量的矩阵的秩等于 。即 A = (aij )n×r , r( A) = r Th4:设矩阵 Th4:设矩阵

A= A= (aij )m×n

的列向量依次为

则 r(α1,α2 ,L,αn ) = r( A)

α1,α2 ,L,αn

通过转置，行向量变为列向量，所以矩阵 的秩 通过转置，行向量变为列向量，所以矩阵A的秩 等于它列向量的秩，也等于它行向量的秩。 等于它列向量的秩，也等于它行向量的秩。

Th3的证明：设有常数k1,k2,…kr使得 的证明：设有常数 的

证明

k1α1 + k2α2 +L+ krαr = 0

∑a kj =1 ij

r

j

= 0, (i =1,2,L, n) (3)T

αj = (a1 j , a2 j ,L, anj ) (i =1, 2,L, r)线 无 (3)仅 零 r( A) = r 性 关 有 解

Th4的证明：设 r(α1,α2 ,L,αn ) = r , r( A) = r2 的证明： 的证明 1那么A中有一个 阶子式不为零， 那么 中有一个r2阶子式不为零，由Th3知， 中有一个 知 由其所在的r 列向量组成的矩阵的秩也为r 由其所在的 2列向量组成的矩阵的秩也为 2 显然

r ≥ r2 1

又因向量组的极大无关组含r1个向量，那么由这 又因向量组的极大无关组含 个向量， r1个向量为列向量组成的矩阵其秩为 1 。这矩阵 个向量为列向量组成的矩阵其秩为r 有一个r 阶子式不为零，但这r 阶子式也是A的 有一个 1阶子式不为零，但这 1阶子式也是 的r1 阶子式， 阶子式，从而有

r2 = r( A) ≥ r r = r2 1 1

例1(P126-127) ( ) 1 2 1 1 0 0 , α = 1 , α = 1 , α = 2 , α = 1 α1 = 0 2 1 3 1 4 3 5 2 1 0 1 4 3

求其秩和一个极大无关组 1 2 1 1 0 1 2 1 1 0 r 2r 1 2 1 1 0 4 解： r3 r2 2 0 1 1 2 1 r4 +r1 0 1 1 2 1 r4 r3 0 1 1 2 1 A= → → 0 1 1 3 2 0 1 1 3 2 0 0 0 1 1 10 1 43 0 2 25 3 0 0 0 0 0 ∴ r(α1, α2 ,α3, α4 , α5 ) = r( A) = 3

显然，阶梯型矩阵的1,2,4列向量线性无关， 显然，阶梯型矩阵的 ， , 列向量线性无关 列向量线性无关， 其它列向量可以由这3个列向量线性表示 个列向量线性表示。 其它列向量可以由这 个列向量线性表示。而初 等行变换不改变列向量之间的线性关系， 等行变换不改变列向量之间的线性关系，故α1, α2, α4, 是向量组α1,α2,α3,α4,α5的极大线性无关组。 的极大线性无关组。 说明：不唯一 说明： 例2 (P127,自己看) ,自己看) 作业(P138)2,5(1) 作业( ) , ( )

§4.3 齐次线性方程组解的性质设有齐次线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 a x + a x +L+ a x = 0 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLLL am 1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = 0 a11 a21 A= L a m1 a12 a22 L am 2 L a1n L a2 n , L L L amn

(4) )

若记

x1 x2 x= M x n

Ax = 0

( 4)

方程组( ) 方程组(4)的解 可表示为

x1 = a1 , x2 = a2 ,L , xn = an

a1 a2 x =η = M an

是一个n维向量，称为方程组(4) 的解向量 是一个 维向量，称为方程组 维

向量

一、齐次线性方程组解的性质和基础解系 Th5(解的性质):设η1,η2是(4)的解向量， 解的性质) 解的性质 )的解向量， 则它们的线性组合也是( )的解向量。 则它们的线性组合也是(4)的解向量。 →若(4)有非零解，则它有无穷多解。 证明 若 )有非零解，则它有无穷多解。 Th5证明 定义 基础解系):设η1,η2 , …,ηs是(4)的一组解向 定义(基础解系 ： 基础解系 ) 量，若 1) η1,η2 , …,ηs线性相关； 线性相关； 2)方程组(4)的任何一个解向量都可以由 1,η2 , …, 方程组( )的任何一个解向量都可以由η 方程组 ηs线性表示， 线性表示， 则称 1,η2 , …,ηs是齐次线性方程组(4)的一个基 则称η 是齐次线性方程组( ) 础解系。 础解系。

二、齐次线性方程组解的结构 Th6(解的结构):齐次线性方程组(4) 的系数矩 解的结构) 齐次线性方程组 解的结构 的秩r<n,则方程组 存在由 个解向量η1, 存在由n-r个解向量 阵A的秩 的秩 ，则方程组(4)存在由η2 , …,ηn-r构成的基础解系。它们的线性组合 构成的基础解系。

c1η1 + c2η 2 + L + cn rη n r (c1 , c2 ,L , cn r 是任意常数) (5)

给出了齐次线性方程组 的所有解。 给出了齐次线性方程组(4) 的所有解。

证明：先证明存在线性无关的解向量η1,η2 , …, 证明： ηn-r 。由于 的秩 由于A的秩 的秩r<n,系数矩阵 可化为阶梯型矩阵， 可化为阶梯型矩阵， ,系数矩阵A可化为阶梯型矩阵 并不妨设A的前 个列向量线性无关 于是A可化 并不妨设 的前r个列向量线性无关.于是 可化 的前 个列向量线性无关. 为

1 L 0 A~ 0 L 0

L L L L L L

0 L 1 L L L

b11 L br 1 L L L

L b1, n r L L L br , n r L 0 L L L 0

1 L 0 …… 此处隐藏：2587字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……