数学必修2第二章知识点小结及典型习题

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第二章 点线面位置关系总复习

1、（1

（2）点与平面的关系：点A在平面内，记作；点不在平面 内，记作A

点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A l；

直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l α；直线l不在平面α内，记作l α。 2、四个公理与等角定理：

（1

符号表示为

A

A∈L B∈

L α LA∈α B∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内.（只要找到直线的两点在平面内，则直线在平面内） （2

A B

· C ·

符号表示为：A、B、C三点不共线 =>

有且只有一个平面α， 使A∈α、B∈α、C∈α。 公理2的三个推论：（1）：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

（2）：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 （3）：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理3说明：两个不重合的平面只要有公共点，那么它们必定交于一条过该公共点的直线，公理（4a∥b

a∥c

c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。（表明空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行）

（53、（1）证明共面问题：

方法1是先证明由某些元素确定一个平面，在证明其余元素也在这个平面内。

方法2是先证明分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合。

（2）证明三点共线问题的方法：先确定其中两点在某两个平面的交线上，再证明第三点是这两个平面的公共点，则第三个点在必然在这两个平面的交线上。

（3）证明三线共点问题的方法：先证明其中两条直线交于一点，再证明第三条直线也经过这个点。

（既不平行也不相交的两条直线） ① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。

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③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。

两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。（两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形） 说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理

（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。 （3）求异面直线所成角步骤：（一作、二证、三计算）

第一步作角：先固定其中一条直线，在这条直线取一点，过这个点作另一条直线的平行先；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。第二步证明作出的角即为所求角。第三步利用三角形边长关系计算出角。（思路是把两条异面直线所成的角转化为两

5（1）空间两条直线的位置关系有且只有三种：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点；

直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 （2）直线与平面的位置关系有且只有三种： ①直线在平面内——有无数个公共点

②直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 ③直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 三种位置关系的符号表示：a α a∩α＝A a∥α 注意直线与平面的位置关系其他分类：（1）按直线与平面的公共点数分类： （自己补充） （2）按直线是否与平面平行分类：

（3）按直线是否在平面内分类：

（3）平面与平面之间的位置关系有且只有两种：（按有无公共点分类）

①两个平面平行——没有公共点；α∥β。

α∩β＝b。 ②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

a// a

a//b ③线面平行的性质定理：a ④线面垂直的性质定理：

b

5面面平行的性质定理：○

//

a b

a//b

b

a//b

,则该直线与此平面平行。证明线面平行，只要在平面内找一条直线b与直线a平行即可。一般情况下，我们会用

线面平行 线线平行 性质定理的作用：利用该定理可解决直线间的平行问题

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线面平行的判定方法： a ①线面平行的定义：直线与平面无公共点 ②判定定理： b

a//

// ③面面平行的性质： a//

a

a//b

那么这两个平面平行

（线面平行 面面平行）， 两个平面平行的性质定理与结论：

①如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行） ②如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行） 面面平行的判定方法：

a//

b//

①面面平行的定义：两个平面无公共点。 ②判定定理：a

b a b P

③线面垂直的性质定理：

//

a a

// ④公理四的推广：

a//

//

//

7 ①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组，就说这两个平面垂直。 （共面垂直、异面垂直） ②线面垂直的性质： a ,b a b a b 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 判定线面垂直，只要在平面内找到 两条相交直线 与已知直线垂直即可（注意：两条直线必须相交）

经常用到的知识点有：

①等腰三角形三线合一（中线，角平分线，高），如果取等腰三角形底边的中点，连接顶点与中点的线既是中线也是高，所以，这条线垂直于底边；

②正方形的对角线是互相垂直的；③三角形勾股逆定理a b c,可以推出a边与b边垂直；

④如果是要证异面垂直的两条直线，一般采用线面垂直来证明一条线垂直于另一条线所在的平面，从而得到两条异面直线垂直；

5采用三垂线定理或者其逆定理得到两条直线垂直。 ○

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

2

2

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线面垂直的判定方法：

a ba c

①线面垂直的定义 ②线面垂直的判定定理： b c

A a

b c

③平行线垂直平面的传递性推论:

a a//b

b

④面面平行的性质结论： // ,a a

5面面垂直的性质定理： l a ○

a

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 …… 此处隐藏：6084字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……