胡海岩+机械振动基础课后习题解答 第3章习题

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P139, 3-1: 求图示摆的柔度系数。

d 11d 21 d 31

1

d11 = d 21 = d31 =

l1 (m1 + m2 + m3 ) g

d 22

1

d 22 = d32 =d 32

l1 l2 + (m1 + m2 + m3 ) g (m2 + m3 ) g

d 33

1

d 22 = d32 =

l l1 l2 + + 3 (m1 + m2 + m3 ) g (m2 + m3 ) g m3 g

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P139,3-2: 求图示系统的的刚度矩阵和柔度矩阵， 并求m1 = m2 = m, k1 = k2 = k时系统的固有频率。1 m1l 2 l 2 & 2 1 m2l 2 l & T= ( + m1 ( ) )θ1 + ( + m2 ( ) 2 )θ 2 2 2 12 2 2 12 4

U=

1 3l 3l 1 l k1 ( θ1 θ 2 ) 2 + k2 ( θ 2 ) 2 2 4 4 2 2

m1l 2 3 M = 0

0 2 7 m2l 48

9l 2 k1 16 K = 9l 2 k1 16 l 2k K= 16

9l 2 k1 16 2 2 9l k1 l k2 + 16 4

ml 2 M= 3

0 1 0 7 /16

9 9 9 13

| K ω 2 M |= 0

ω1 = 0.65

k m k m

ω2 = 2.62

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P139,3-3: 建立图示系统的运动微分方程，并求当ki = k , i = 1,L 6, m1 = m, m2 = 2m, m3 = m时的固有 频率和固有振型。 m1 M = m3 k2 k2 + k3 + k5 + k6 k3 2k K = k 0 k3 k3 + k4 0 k 4k k 0 k 2k

m2

k1 + k2 K = k2 0

m M = 2m m

ω1 =

k m

ω2 =

2k m

ω3 =

3k m

1 φ1 = 1 1

1 φ2 = 0 1

1 φ2 = 1 1

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P140,3-4: 图示带集中质量的自由梁是飞机的最简单的模型，梁的抗弯刚度EI , 质量不计， 集中质量的比值为µ = m / M。 求系统的固有频率和固有振型。系统的动能：T = 系统的势能：U = m M M = m

1 1 1 2 2 mu12 + Mu2 + mu3 2 2 2 1 3EI 1 3EI (u3 u2 ) 2 + (u1 u2 ) 2 2 l 2 l 1 1 0 3EI K= 1 2 1 l 0 1 1

ω1 = 0ω2 = ω3 =3EI = ml 3EI µ Ml

3EI (2m + M ) 3EI (2 µ + 1) = Mml µ Ml 1 φ2 = 0 1 1 φ3 = 2µ 1

1 φ1 = 1 1

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P140,3-5: 图示系统中各质量只能沿ui,i = 1,L 4方向运动， 试分析其固有模态。 M 0 M = 0 0 0 m 0 0 0 m 0 0 0 m 0 0 3k k K = k k k k 0 0 k 0 k 0 k 0 0 k

特征值问题： ( K ω 2 M )φ = 03k ω 2 M k 系统固有频率满足的方程： = k k k k k ω 2m 0 k ω 2m 0 0 0 k 0 0 k ω 2m

=0

系统的固有频率： ω1 = 0

ω2 = ω3 =

k m

ω4 =

( M + 3m)k mM

2 容易确定ω12和ω4的特征矢量：

1 1 φ1 = 1 1

3m M 1 φ4 = 1 1

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对于ω2 = ω3 =

k , 有 m 1 1 1 0 0 0 φi = 0,(i = 2,3) 0 0 0 0 0 0

M 3 m k ( K M )φi = k 1 m 1 1

任取 32 = 42 = 1 1i = 0 2i + 3i + 4i = 0 (i = 2,3)

正交条件：φiT M φ1 = φiT M φ4 = 0,(i = 2,3)

2i + 3i + 4i = 0, (i = 2,3)

0 2 φ2 = 1 1

13 = 0 23 + 33 + 43 = 0

正交条件：φ3T M φ2 = 0

2 23 + 33 + 43 = 0

0 0 φ3 = 1 1

1 1 φ1 = 1 1

0 2 φ2 = 1 1

0 0 φ3 = 1 1

3m M φ4 = 1 1 1

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P140,3-7: 图示系统左端基础作简谐激励u0 (t ) = u0 sin ωt , 试求两集中质量的稳态位移响应并讨论其 反共振现象。

&& mu1 (t ) = k (u1 (t ) u2 (t )) 2k (u1 (t ) u0 (t )) && mu2 (t ) = 2ku2 (t ) k (u2 (t ) u1 (t ))&& m 0 u1 3k 0 m u + k &&2 2

k u1 2ku0 sin ωt = 3k u2 0 3k ω 2 m k

3k ω 2 m K ω M = k

3k 3k ω 2 m H11 (ω ) = (ω )

H 21 (ω ) =

k (ω )

u1 (t ) H11 (ω ) u (t ) = H (ω ) 2ku0 sin ωt 2 21

ω=

3k 为反共振频率 m

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P140,3-9: 图示系统初始静止，求左端基础产生阶跃位移u0后系统的响应。

&& mu1 (t ) = k (u1 (t ) u2 (t )) 2k (u1 (t ) u0 (t )) && mu2 (t ) = 2ku2 (t ) k (u2 (t ) u1 (t ))&& m 0 u1 3k 0 m u + k &&2 k u1 2ku0 = 3k u2 0

2k 4k ω1 = , ω2 = m m u1 1 1 q1 u = 1 1 q 2 2

1 1 φ1 = , φ2 = 1 1 && 1 1 m 0 1 1 q1 1 1 3k 1 1 0 m 1 1 q + 1 1 k &&2 T T

k 1 1 q1 1 1 2ku0 = 3k 1 1 q2 1 1 0 T

&& 1 0 q1 ω12 0 q1 ku0 / m = 0 1 q + 2 &&2 0 ω2 q2 ku0 / m q1 (t ) = ∫ ku0 1 u sin ω1 (t τ )dτ = 0 (1 cos ω1t ) 0 m ω 2 1t

q2 (t ) =

u0 (1 cos ω2t ) 2

u1 (t ) =

u0 (2 cos ω1t cos ω2t ) 2

u2 (t ) =

u0 (cos ω2t cos ω1t ) 2

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P140,3-10: 图示阻尼系统受阶跃力 f 0 作用，其中c < 2mk ,求零初始条件下系统的响应。&& & 0 u1 k m u1 c c u + c 3c 2c u + k && & 3m 2

2 m u3 0 2c 2c u3 0 && & k 3k 2k 0 u1 0 2k u2 = 0 2k u3 f 0

k 2k ω1 = 0, ω2 = , ω3 = m m模态坐标系下的运动方程：

1 1 1 φ1 = 1 , φ2 = 0 , φ3 = 1 1 1/ 2 1

1 1 q1 u1 1 u = 1 0 1 q2 2 u3 1 1/ 2 1 q3 & q1 (0) q1 (0) 0 q (0) = q (0) = 0 & 2 2 q3 (0) q3 (0) 0 &

&& & 0 0 q1 0 0 0 q1 1 6m q1 0 q + 0 3c / 2 0 q + 0 3k / 2 0 q = 1/ 2 f && & 3m …… 此处隐藏：3356字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……