2013届新课标高中数学(文)第一轮总复习第7章第43讲 导数在研究函

函数的单调性【 例1 】 已 知 函 数 f ( x) 2x b ( x 1)2

, 求 导 函 数 f ( x ), 并 确

定 f ( x )的 单 调 区 间 .

【 解 析 】 f '( x ) 2 x 2b 2 ( x 1)3

2( x 1) (2 x b ) 2( x 1)2

( x 1) 2[ x ( b 1)] ( x 1)3

4

令 f ( x )= 0, 得 x= b-1. 当 b-1 1 , 即 b 2 时 ， x、 f ( x )的 变 化 情 况 如 下 表 ：

x

(-∞,b-1) b-1 (b-1,1)

(1,+∞)

f ′(x)

-

0

+

-

当b-1>1,即b>2时，x、f ′(x)的变化情况如下表： x f ′(x) (-∞,1) (1,b-1) b-1 (b-1,+∞) 0 - + -

所 以 ， 当 b 2 时 ， 函 数 f ( x ) 在 (- , b-1) 上 单 调 递 减 ， 在 ( b-1,1) 上 单 调 递 增 ， 在 (1 , + ) 上 单 调 递 减 . 当 b 2 时 ， 函 数 f ( x ) 在 (- , 上 单 调 递 减 ， 在 (1 , b-1) 1) 上 单 调 递 增 ， 在 ( b-1 , + ) 上 单 调 递 减 当 b-1 =1 , 即 b= 2 时 ， f ( x ) 2 x 1 , 所 以 函 数 f ( x )在

(- , 上 单 调 递 减 ， 在 (1 , + ) 上 单 调 递 减 1)

求函数的单调区间，先找出函数的极 值点，再判断在极值点邻近函数的变化趋 势.本题是用导数研究函数单调性的常见 问题，由于参数b的大小直接影响函数的单 调区间，因此要对b进行分类讨论.

【 变 式 练 习1 】 已 知 函 数 f ( x ) ln ( x 2) 的单调区间. x2

, 求 函 数 f ( x)

2a

【 解 析 】 易 知 函 数 f ( x )的 定 义 域 为 (2 , + ). f '( x ) 1 x 2 x a x 2x a2

a ( x 2)

1 当 a 0时 ， 因 为 x 2 ,所 以 f '( x ) x ( x 2) ( a ) a ( x 2) 0

所 以 函 数 f ( x ) 在 (2 , + ) 上 是 增 函 数 .

(2 ) 当 a 0时 , f '( x ) [ x (1 1 a )][ x (1 1 a )] a ( x 2)

因 为 x 2 , 由 f ( x ) 0, 得 2 x 1 1 a; 由 f ( x ) 0, 得 x 1 + 1 a . 所 以 f ( x ) 在 (2,1+ 1 a ) 上 是 增 函 数 ， 在 (1 1 a, + ) 上 是 减 函 数 .

函数的极值a 3 3 2 【例 2】设函数 f(x)=3x -2x +(a+1)x+1,其中 a 为实数. (1)已知函数 f(x)在 x=1 处取得极值，求 a 的值； (2)已知不等式 f ′(x)>x2-x-a+1 对任意 a∈(0, +∞)都成立，求实数 x 的取值范围.

【解析】 ′(x)=ax2-3x+(a+1), (1)f 由于函数 f(x)在 x=1 时取得极值，所以 f ′(1)=0,即 a-3+a+1= 0,所以 a=1,经检验满足. (2)方法 1:由题设知：ax2-3x+(a+1)>x2-x-a+ 1 对任意 a∈(0,+∞)都成立， 即 a(x2+2)-x2-2x>0 对任意 a∈(0,+∞)都成立，

设 g(a)=a(x2+2)-x2-2x(a∈R),则对任意 x∈R, g(a)为单调递增函数(a∈R),

所以对任意 a∈(0,+∞),g(a)>0 恒成立的充分必 要条件是 g(0)≥0, 即-x2-2x≥0,所以-2≤x≤0, 于是 x 的取值范围是{x|-2≤x≤0}.

方法 2:由题设知：ax2-3x+(a+1)>x2-x-a+1 对任意 a∈(0,+∞)都成立 即 a(x2+2)-x2-2x>0 对任意 a∈(0,+∞)都成立 x2+2x x2+2x 于是 a> 2 对任意 a∈(0,+∞)都成立，即 2 ≤0, x +2 x +2 所以-2≤x≤0,于是 x 的取值范围是{x|-2≤x≤0}.

本题是以函数极值为背景考查分析问 题的思维能力和对参数范围的识别能 力.解答中有两处值得体会：一是极值点 得导数等于0,但导数等于0的点不一定是 极值点，故第一问需要检验；二是已知参 数范围，恒成立问题求自变量的范围可以 通过变量转化，也可以变量分离来求解.

【变式练习2】 已知函数f(x)=x3 +ax2 +3x-1(a>0),若f(x)在其 定义域内为增函数，求a的取值范围. 【解析】因为函数f(x)=x3 +ax2 +3x-1(a>0)在R 上为增函数， 所以f ′(x)=3x2+2ax+3≥0在R上恒成立， 由Δ=4a2-36≤0,所以a2≤9,所以0<a≤3; 又 因 为 当 a = 3 时 ， f'(x) = 3x2 + 6x + 3 = 3(x + 1)2≥0(只有当x=-1时，f'(x)才等于0),因此0<a≤3.

函数的最值【例3】 已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个 极值点. (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点， 求b的取值范围.