2. 《自动控制原理》胡寿松主编 第五版 电子课件——第二章

第二章控制系统的数学模型§2-1§2-2§2-3§2-4§2-5§2-6§2-7引言微分方程传递函数结构图及其等效变换信号流图与梅逊公式闭环系统的传递函数脉冲响应函数

主要内容1、数学模型的概念及种类。 2、系统(或元件)微分方程的列写与求解。 3、非线性微分方程的线性化。 4、传递函数的概念及典型环节的传递函数。 5、动态结构图及其等效变换。 6、信号流图及其等效变换。 7、梅逊公式及其应用。 8、 G K .Φ .Φ e .Φ n .Φ en等概念及求取。 9、脉冲响应函数及其应用。

重点与难点重.

点

1、传递函数的概念及典型环节的传递函数 2、由动态结构图或信号流图求传递函数 3、 G K、Φ、Φ e、Φ n、Φ en等概念及求取

难

.

点

.

微分方程的列写与各种传递函数的求取

第二章数学模型

§2-1

引

言

为使其设计的系统能满足要求，须对系统的过度过程在理论上进行分析，掌握其内在规律。为此将系统的过度过程用一个反映其运动状态的方程式表达出来，再加以分析和计算，即为建模。它是分析、设计控制系统的第一步。模型—客观实际物体的代表。如电机模型，机械零件模型等。几何模型—几何尺寸放大或缩小。(如建筑物预先做的模型)模拟模型—物质相似的量间的模拟。如电气模拟机械，也叫物理模型。

第二章数学模型

模型的基本概念(续)数学模型—用数学表达式描述系统的一种模型。描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间的关系的代数方程。静态数学模型—在静态条件下(即变量各阶导数为0),描述变量之间关系的代数方程。动态数学模型—描述诸变量动态关系得数学表达式。常用的动态数学模型：微分方程、差分方程、状态方程、传递函数、动态结构图信号流图、脉冲响应函数、频率特性等。

第二章数学模型

模型的基本概念(续)用数学表达式描述自控系统，首先须建立一个合理的数学模型，准确性和简化性之间应全面考虑，在误差允许的条件下，尽量简化数学模型。

第二章数学模型

§ 2-2微分方程一、线性元件的微分方程：列写方法： (1)确定元件的输入、输出变量。 (2)从输入端开始，根据物理、化学基本定律写出原始方程式。 (3)消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微分方程。 (4)标准化——将与输入有关的各项放在等号的右边,与输出有关的各项放在等号的左边，各阶导数按降幂排列。

第二章数学模型

线性元件的微分方程(续)

u u例1. RC网络， i为输入， c为输出，列微分方程。 R解：Ri+ uc= ur 1 uc=∫ idt C C i ur uc duc i=C dt duc RC+ uc= ur……(1) dt令T=RC为

时间常数，则有duc T+ uc= ur ---一阶微分方程。 dt

第二章数学模型

线性元件的微分方程(续)

u u例2.R-L-C电路， i为输入， c为输出,列微分方程。di解：L+ Ri+ uc= ur dtduc 1 uc=∫ idt i= C → C dt d 2 uc di∴=C dt dt 2urR

L

i

uc

d 2 uc duc故LC 2+ RC+ uc= ur—二阶微分方程 dt dtL令 T1=, T2= RC R

均为时间常数,

第二章数学模型

线性元件的微分方程(续)d 2 uc duc则有T1T2 2+ T2+ uc= ur dt dt (2 )

例3.弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统。当外力F(t)作用时，系统将产生运动x(t)----位移。解：在F(t)作用下，若弹簧恢复力和阻尼器阻力之和不平衡，则质量 m将有加速度，并使速度和位移改变。根据牛顿第二定律有：

第二章数学模型

线性元件的微分方程(续)F ( t ) F1 ( t ) F2 ( t )= m F1 ( t )→弹簧恢复力 F 2 (t)→阻尼器阻力 d2x dt 2

假设弹簧是线性的，则 F1 ( t )= kx假设阻尼器阻力与速度成正比，则dx F2 ( t )= f dt

第二章数学模型

线性元件的微分方程(续)m d x f dx 1∴++ x= F ( t ) -------二阶微分方程 2 k dt k dt k令T=则T 2 m f 1,ζ=,K=, k k 2 mk d2x dx+ 2ζ T+ x= KF ( t )……(3) 2 dt dt2

比较(2)、(3)式可以发现：当两方程的系统相同时，从动态性能的角度看，两系统是相同的。这就有可能利用电气来模拟机械系统进行实验研究，而对系统理论来说，就有可能撇开系统的物理属性进行普遍意义的分析研究。

第二章数学模型

线性元件的微分方程(续)例4.枢控他励直流电机，输入 ua,输出ω。RaLa

+

ua

iaE

M

负载ω

-

解：Ra ia+ La dia+ E= uadt

() 1

E= Ceω

M= Cm ia

第二章数学模型

线性元件的微分方程(续)dω J+ fω= M M c电机轴上的动力学方程为： dt

其中J----转动惯量，f----粘性摩擦系数。实际分析中常忽略阻尼力矩 fωdω∴, J dt= M M c

dω J dω M c∴ C m ia= J+ M c ia= →+ dt C m dt C m

(2 )

dia J d 2ω 1 dM c则=+ 2 dt C m dt C m dt

(3 )

第二章数学模型

线性元件的微分方程(续)将(2)、(3)式代入(1)式中有：La J d 2ω Ra J dω La dM c Ra++ C eω= ua Mc 2 C m dt C m dt C m dt CmRa J dω La dM c Ra La J d 2ω 1 Mc ua ++ω= 2 C m C e dt Ce C m C e dt CmCe C m C e dt

La ----电枢回路的电磁时间常数令 Ta= Ra Ra J Tm= C m C e ----电枢回路的机电时间常数

第二章数学模型

线性元件的微分方程(续)1 Tm, Km= Ku= ----为传递系数 Ce J

d 2ω dω dM c TaTm 2+ Tm+ω= K u ua K m (Ta+ Mc ) dt dt dt