概率论思想在一些不等式中的应用

来源：网络收集时间：2026-09-14

导读：第32卷第6期太原科技大学学报Vol．32No．6 2011年12月JOURNALOFTAIYUANUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGYDec．2011 文章编号：1673－2057（2011）06－0476

第32卷第6期太原科技大学学报Vol．32No．6

2011年12月JOURNALOFTAIYUANUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGYDec．2011

文章编号：1673－2057（2011）06－0476－04

概率论思想在一些不等式中的应用

聂世谦，崔小朝

（太原科技大学应用科学学院，太原030024）

摘

要：随着概率论的应用和迅速发展，概率论的应用逐步深入到各个领域，涉足到各个行业。在

数学上一些常见的不等式的证明，若运用代数方法较难得到解决，而运用概率方法就可以较方便地得到证明。这种证明方法沟通了不同学科之间的联系。应用概率方法证明不等式，是个很有用的方法，建立适当概率模型，使不等式的证明得到简化。本文主要研究了应用概率论的方法证明代数不等式、积分不等式和相关理论的应用。

关键词：随机变量；不等式；数学期望；积分；方差中图分类号：O211

文献标志码：A

概率论是从数量侧面研究随机现象规律性的数学学科，它有自己独特的概念和方法，内容丰富，应用广泛。不等式是数学中一项非常重要的内容，它的应用也相当广泛，因此不等式的证明在数学中也越来越受到人们的重视。在现代数学中，初等数学方法和微积分方法都要被学者运用到不等式的证明中。学者在解决不等式证明的过程中，新颖的方法和独特的技巧都被运用到不等式的证明过程中。有些不等式，用传统的初等数学方法和微积分方法很难解决，可以考虑用概率论的方法来解决不等式证明的问题。用概率论方法证明不等式时，需要从不等式的特点出发，利用函数的性质，结合概率论中的性质及相关理论，从而达到简化不等式的证明过程的目的。

则称f（x）为I上的凸函数；反之，如果

f（λx+（1－λ）y）≥λf（x）+（1－λ）f（y），

［1］

则称f（x）为I上的凹函数。

F，P）内的随机变设X为定义于概率空间（Ω，

F（x）为X的分布函数，p（x）为X的密度函量，数

［2］

，且F（x）=

［3］

∫

－∞

p（t）dt，x∈R．

定义3若广义积分

∫

+∞

－∞

|x|dF（x）＜+∞

（或广义积分绝对收敛），则称数学期望或均值存在（或称X为可积的随机变量），记作：EX，且EX=

∫

+∞

－∞

xdF（x）．

［1］

引理1

（数学分析中的一般Jensen不等

a，b］上的凸函数，对任意的式）若f（x）为区间［

xi∈［a，b］，xi＞0，（i=1，2，…，n），且

1基础理论

定义1

若连接I内任意两点x与y的任意线

［1］

λi=∑i=1

｛αx+（1－α）y|0≤α≤1｝都含于I，段，则称I为R

1，则有f（

λixi）≤∑λif（xi）．∑i=1i=1

［4］

内的凸区域

定义2

。

引理2+∞）．

（詹森（Jensen）不等式）

设f（x）为定义在I上的实函数，若对Ib），（－∞≤a＜b＜设ξ是一随机变量，ξ∈（a，x∈（a，b）是连续的凸函数。若Eξ设y=f（x），

y和任意实数λ∈（0，1），上任意两点x，恒有：

f（λx+（1－λ）y）≤λf（x）+（1－λ）f（y），

03-23收稿日期：2011-

作者简介：聂世谦（1984－）男，硕士研究生，主要研究方向为计算流体力学及工程应用。

第32卷第6期聂世谦，等：概率论思想在一些不等式中的应用

b－a

477

和Ef（ξ）存在，则f（Eξ）≤E（f（ξ））．

推论

［5］

x∈（a，b）是连续的凹函设f=f（x），

（柯西-Schwarz）不施瓦兹（Cauchy-

∫

f（x）g（x）dx

数。若Eξ和Ef（ξ）存在，则E（f（ξ））≤f（Eξ）．

引理3等式）

若（ξ，η）是一个二维随机变量，又Eξ＜+∞，222

Eη2＜+∞，E（ξη）］则有［≤Eξ·Eη，特别地，当

［6］

g（x）是［a，b］上的正值连续函数，由于f（x），

f（ξ）g（ξ）］所以E［≥0，又由引理3知：

|E［f（ξ）·g（ξ）］|≤［Ef2（ξ）［Eg2（ξ）从而，

E［f（ξ）+g（ξ）］=Ef2（ξ）+Eg2（ξ）+

ξ和η相互独立时，有（Eξ）·（Eη）≤Eξ·Eη．

2222

2E［f（ξ）+g（ξ）］Ef（ξ）+［Eg（ξ）≤［将各相应值代入，即得三角不等式成立。2．2

用概率方法证明代数不等式例2正数，

则有

12用概率论方法证明代数积分不等式

不等式有许多种类型，如数论与组合不等式、

（平均数不等式）设a1，a2，…，an为n个

12n≤∑ai≤≤ni=11

代数不等式、几何不等式、多项式函数不等式、行列式与矩阵不等式、微分不等式、积分不等式和概率不等式等等。在本文中主要研究应用概率论思想证明两种类型的不等式。一是积分不等式；二是代数不等式。2．1

用概率论证明积分不等式例1

（三角不等式）

∑i=1

证明

ai2，（i=1，2，…，n），∑ni=1

设随机变量ξ的概率分布为p（ξ=ai）=

a，b］设f（x）与g（x）是［上的正值连续函数，则

{∫

［f（x）+g（x）］dx

[∫

[∫g（x）dx]

≤

f（x）dx

]

．其中ai≥0，（i=1，2，…，n）．由：n

E2（η）≤E2（ξ）

得：

111（∑ai）2≤∑ai2，即（ni=1ni=1n由引理2的推论，得：

证明设随机变量ξ的概率分布及其概率密

ai）∑i=1

≤∑ai

i=1

度函数分别为：

a，b］令f（x）=lnx，其中lnx为［上的凹函数，又

E（lnξ）≤lnE（ξ）

得：

lnai≤ln∑ai，∑ni=1ni=1

即

1≤12nn

F（x）=

{

∫

x＜a，0，

x－a

，x∈［a，b］，b－a1，x＞b．

（1）

，x∈［a，b］

p（x）=b－a

0，x［a，b］

则

E［f（ξ）+g（ξ）］=

+∞－∞

［f（x）+g（x）］p（x）dx=

ai∑i=1

在式（1）中若令随机变量ξ的概率分布为P1111

（ξ=）=，（i=1，2，…，n），则有∑ln≤

ainni=1ai11ln∑，即ni=1ai

f2（x）dx

因此：n

1b－a

Ef（ξ）=Eg2（ξ）=

∫

［f（x）+g（x）］dxn

∫∫

+∞

－∞+∞

1f（x）p（x）dx=

b－a

∫

∑i=1

12n．≤1ai

－∞

g2（x）p（x）dx=

1b－a

∫g（x）dx

f（ξ）·g（ξ）］=E［

∫

+∞

－∞

f（x）g（x）p …… 此处隐藏：4246字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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