【步步高】2014届高三数学大一轮复习 2.4二次函数与幂函数教案

来源：网络收集时间：2026-09-14

导读： 2.4 二次函数与幂函数 2014高考会这样考 1.求二次函数的解析式；2.求二次函数的值域或最值，和一元二次方程、一元二次不等式进行综合应用； 3．利用幂函数的图象、性质解决有关问题．复习备考要这样做 1.理解二次函数三种解析式的特征及应用；2.分析二次函

§2.4 二次函数与幂函数

2014高考会这样考 1.求二次函数的解析式；2.求二次函数的值域或最值，和一元二次方程、一元二次不等式进行综合应用； 3．利用幂函数的图象、性质解决有关问题．

复习备考要这样做 1.理解二次函数三种解析式的特征及应用；2.分析二次函数要抓住几个关键环节：开口方向、对称轴、顶点，函数的定义域；3.充分应用数形结合思想把握二次函数、幂函数的性质．

1．二次函数的定义与解析式

(1)二次函数的定义

形如：f(x)＝ax＋bx＋c_(a≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax＋bx＋c_(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠0)． 2．二次函数的图象和性质

形如y＝xα

(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 4．幂函数的图象及性质

(1)幂函数的图象比较

(2)幂函数的性质比较

[难点正本疑点清源]

1．二次函数的三种形式

(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．

(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式． (3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便． 2．幂函数的图象

(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．

123－1

(2)函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x，y＝x可做为研究和学习幂函数图象和性质的代

2表．

1．已知函数f(x)＝x＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围为

____________．答案 (－∞，－2]

解析 f(x)的图象的对称轴为x＝1－a且开口向上， ∴1－a≥3，即a≤－2.

2．已知函数y＝x－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为

________．答案 [1,2]

解析 y＝x－2x＋3的对称轴为x＝1. 当m<1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数． ∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m－2m＋3＝2. ∴m＝1，无解．

当1≤m≤2时，ymin＝f(1)＝1－2×1＋3＝2，

ymax＝f(0)＝3.

当m>2时，ymax＝f(m)＝m－2m＋3＝3， ∴m＝0，m＝2，无解．∴1≤m≤2.

3．若幂函数y＝(m－3m＋3)xm－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________．

答案 1或2

解析由{m－3m＋3＝1m－m－2≤0 ，解得m＝1或2.

经检验m＝1或2都适合． 4． (人教A版教材例题改编

)

如图中曲线是幂函数y＝x在第一象限的图象．已知n取±2，±

2值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为____________． 11

答案 2，，－2

解析可以根据函数图象是否过原点判断n的符号，然后根据函数凸凹性确定n的值．

5．函数f(x)＝x＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是 ( )

A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 答案 A

解析函数f(x)＝x＋mx＋1的图象的对称轴为x且只有一条对称轴，所以－

221，即m＝－

题型一求二次函数的解析式

例1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此

二次函数．

思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．解方法一设f(x)＝ax＋bx＋c (a≠0)，

4ac－b

＝8，依题意有 4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，

解之，得

{a＝－4，b＝4，c＝7，

∴所求二次函数解析式为f(x)＝－4x＋4x＋7.

方法二设f(x)＝a(x－m)＋n，a≠0.∵f(2)＝f(－1)， 2＋－111

∴抛物线对称轴为xm222又根据题意函数有最大值为n＝8，

∴y＝f(x)＝a x－＋8.

∵f(2)＝－1，∴a 2－＋8＝－1，解之，得a＝－4.

2 122

∴f(x)＝－4 x－＋8＝－4x＋4x＋7.

方法三依题意知，f(x)＋1＝0的两根为

x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0.

即f(x)＝ax－ax－2a－1. 又函数有最大值ymax＝8，即

4a－2a－1－a

＝8，

解之，得a＝－4或a＝0(舍去)． ∴函数解析式为f(x)＝－4x＋4x＋7.

探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．

已知二次函数f(x)同时满足条件：

(1)f(1＋x)＝f(1－x)； (2)f(x)的最大值为15；

(3)f(x)＝0的两根立方和等于17. 求f(x)的解析式．

解依条件，设f(x)＝a(x－1)＋15 (a<0)，即f(x)＝ax－2ax＋a＋15.

令f(x)＝0，即ax－2ax＋a＋15＝0， 15

∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋.

而x1＋x2＝(x1＋x2)－3x1x2(x1＋x2) 90 153

＝2－3×2× 1＝2

333

17，则a＝－6.

∴f(x)＝－6x＋12x＋9. 题型二二次函数的图象与性质

例2 已知函数f(x)＝x＋2ax＋3，x∈[－4,6]．

(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．

思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．

解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x－4x＋3＝(x－2)－1，由于x∈[－4,6]， ∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，

∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函

数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. (3)当a＝1时，f(x)＝x＋2x＋3，

∴f(|x|)＝x＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，

且f(x)＝{x＋2x＋3，x∈0，6]x－2x＋3，x∈[－6，0] ，

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．

探究提高 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．

若函数f(x)＝2x＋mx－1在区间[－1，＋∞)上递增，则f(－1)的取值范

围是

____________．答案 (－∞，－3]

解析 ∵抛物线开口向上，对称轴为x＝－

41，∴m≥4.

又f(－1)＝1－m≤－3，∴f(－1)∈(－∞，－3]．题型三二次函数的综合应用

例3 (2012·淮安模拟)若二次函数f(x)＝ax＋bx＋c (a≠0)满足f(x …… 此处隐藏：8509字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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