胡海岩+机械振动基础课后习题解答 第1章习题

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第一章习题

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P57.1-1: 一物体作简谐振动, 当它通过距平衡位置为0.05m, 0.1m处时的速度分别为0.2m/s和0.08m/s。 求其振动周期、振幅和最大速度。

u(t ) a sin( t ) u(t ) a cos( t )

两边平方，相加

[a u (t )] u (t )2 2 2 2

代入已知条件

[a 2 0.052 ] 2 0.22 2 2 2 2 [a 0.1 ] 0.08解出

振动周期： 2 / 2 / 2.1167 2.9684 T 振幅： 0.1069 a 最大速度=a 0.1069 2.1167 0.2263

a 0.1069, =2.1167

P57.1-2: 一物体放在水平台面上， 当台面沿铅垂方向作频率为5Hz的简谐振动时， 要使物体不跳离平台， 对台面的振幅有何限制？m

u

质量m运动方程： mg mu(t ) N

N mu(t ) mg

不跳离条件: N 0

a sin( t )

g

2

u (t )

g 2

mu(t ) mg 0

u(t ) 2u(t )

( ) 如果sin( t ) 0, 则上式恒成立( ) 如果 sin( t ) 0, 则上式变为a g g 9.8 2 9.9mm 2 sin( t ) (2 5)2

N

mmg

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P57.1-3: 求简谐位移u1 (t ) 5e j ( t 30 )与u2 (t ) 7e j ( t 90 )的合成运动u(t ), 并求u(t )与u1 (t )的相位差。0 0

u (t ) u1 (t ) u2 (t ) 5e j ( t 30 ) 7e j ( t 90 ) (5e j 30 7e j 90 )e j t0 0 0 0

(5cos 300 j (5sin 300 7))e j t 10.44e j ( t 65.5

0

)

u(t )与u1 (t )的相位差： 0 300 35.50 65.5P57.1-4: 求两简谐运动u1 (t ) 5cos 40t , u2 (t ) 3cos39t的合成运动的最大振幅和最小振幅， 并求其拍频和周期。

u (t ) u1 (t ) u2 (t ) Re[5e j 40t 3e j 39t ] Re[(5e jt 3)e j 39t ] Re[((5cos t 3) j5sin t )e j 39t ] Re[u (t )e j (t ) e j 39t ] u (t ) cos(39t (t ))u (t ) (5cos t 3) 2 (5sin t ) 2 34 30 cos t

(t ) arctan(

5sin t ) 5cos t 3

umax 34 30 8 umin 34 30 2

拍频 | 2 1 | | 40 39 | 1 rad/s拍周期 2 2 2 (s) | 2 1 | | 40 39 |

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P57.1-5: 写出图示系统的等效刚度的表达式。 m 2.5kg, k1 k2 2 105 N/m, k3 3 105 N/m时， 当 求系统的固有频率。分析表明： 1和k2并联， k 之后与k3串联

k1和k2并联后的等效刚度：keq k1 k2整个系统的等效刚度：keq keq k3 keq k3 (k1 k2 )k3 k1 k2 k3

系统的固有频率： n

keq m

261.86 rad/s

P57.1-6: 写出图示系统的等效刚度的表达式。

垂直方向力平衡： k1 x1 k2 x2 f 对o力矩平衡： 1 x1a k2 x2b k设等效刚度系数为keq, f keq 则： b x1 a x2 a bb x1 a x2 a b

(a b)2 由以上各式得到：keq 2 a b2 k2 k1

x1

k1 x1

k2 x2

oafb

x2

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P57.1-7: 图中简支梁长l 4m, 抗弯刚度EI 1.96 106 Nm2 , 且k 4.9 105 N/m, m 400kg。 分别求图示两种系统的固有频率。wF

F/ 2

F/ 2

x

任意截面处的弯矩：

F l M ( x) x F x 2 2挠曲线微分方程：

l x 2 l x 2 0

当x

l 2 l 当x 2

F l x F x d w M ( x) 2 2 2 dx EI EI2

积分：

F x3 1 l w( x) x 3 Cx D EI 12 6 2 边界条件：

w(0) w(l ) 0

F x3 1 l 3 3l 2 w( x) x EI 12 6 2 48

x

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wF

F/ 2

F/ 2

x

F x3 1 l 3 3l 2 w( x) x EI 12 6 2 48(a)

x

kbeam

F w(l / 2)

F 48 EI 3 3 l F l 48 EI

keq k kbeam

48EI 48 1.96 106 5 k 3 4.9 10 1.96 106 ( N / m) 3 l 4

n (b )

keq

1.96 106 70(rad / s) m 400

keq

k kbeam 3.675 105 k kbeam

n

keq m

30.3(rad / s)

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P58.1-8: 钢索的刚度为4 105 N/m, 绕过定滑轮吊着质量为100kg的物体以匀速0.5m/s下降， 若钢索突然卡住， 求钢索内的最大张力。系统固有频率： n k m

初始条件： (0) 0, u(0) v0 u

2 振幅： u0 ( a

n

u0

)2

n

v0

v0

m k

最大张力： mg ka T mg v0 mk 1000 9.8 0.5 1000 4 105 1.98 104 (N)

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P58.1-11: 系统在图示平面内作微摆动， 不计刚杆质量， 求其固有频率。

l (ml 2ml ) k mgl 42 2

2

n

kl 4mg 12ml

P58.1-12: 图示摆， 其转轴与铅垂方向成 角， 摆长l, 质量不计。 求摆动固有频率。

ml 2 mg sin( )l sin ml 2 mg sin( )l sin 0 ml 2 mg sin( )l 0mg sin( )l ml 2 g sin( ) l

很小， sinmg sin

n

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P58.1-13: 证明对临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。

(1) 对临界阻尼情形

u(t ) [u0 (u0 nu0 )t ]e nt u(t ) [u0 n (u0 nu0 )t ]e nt 越过平衡位置的条件：u(t1 ) 0, u(t1 ) 0 # 如果u0 0, u0 0, 系统静止在平衡位置上。 # 如果u0 0, u0 0u(t ) 0

t1 0经过平衡位置一次

u(t1 ) u0 0 # 如果u0 0, u0 0u(t ) 0

t1为负值， 无意义， 即无解， 表明系统不经过平衡位置u0 u0 nu0

# 如果u0 0, u0 0u(t ) 0

t1

u(t1 ) [u0 nu0 ]e

nu0 u0 nu0

经过平衡位置一次

0

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P58.1-14: 一单自由度阻尼系统， 10kg时， m 弹簧静伸长 s=0.01m。自由振动20个循环后， 振 幅从6.4 10 3 m 降至1 10 3 m。 .6

求阻尼系数c及20个循环内阻尼力所消耗的能量。n ln( A0 A1 An 1 A ) ln 0 A1 A2 An An A0 2 An

ln

A0 A A , ln 1 , , ln n 1 A1 A2 An

ln

1 n

1 2 n

ln

A0 An

c 2 mk 2 m

mg

s

2m

g

s

A m g ln( 0 ) n An s

10 6.4 10 3 9.8 ln( ) 6.91(Ns/m) 20 1.6 10 3 0.01

20周阻尼器消耗的能量

1 1 mg 2 2 2 k ( A02 An ) ( A0 An ) 2 2 s 10 9.8 ((6.4 10 3 ) 2 (1.6 10 3 ) 2 ) 0.19(NM) 2 0.01

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P58.1-15: 图示系统的刚杆质量不计，m 1kg,k 224N/m, c 48Ns/m, l1 l …… 此处隐藏：4533字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……