线性代数课件 (10)

线性代数,线性代数课件,课件

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一、概念的引入在数的运算中，当数a 0 时， 有

aa a a 1,其中 a 1 1 为 a 的倒数， (或称 a 的逆); a 在矩阵的运算中， 单位阵 E相当于数的乘法运算中 的1, 那么，对于矩阵 A , 如果存在一个矩阵A 1, 使得

1

1

AA 1 A 1 A E ,

A 1称为 A 的可逆矩阵或逆阵. 则矩阵

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二、逆矩阵的概念和性质定义,使得

对于 n 阶矩阵 A ,如果有一个 n 阶矩阵 B

AB BA E , 1

则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵.

A的逆矩阵记作 A .例

1 1 1 2 1 2 , B , 设 A 1 1 1 2 1 2

AB BA E ,

B是A的一个逆矩阵 .

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说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.

若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有AB BA E , AC CA E ,

可得 B EB CA B C AB CE C . 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即B C A 1 .

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例 解 则

2 1 , 求A的逆阵. 设 A 1 0 a b 利用待定系数法 是 A 的逆矩阵, 设 B c d 2 1 a b 1 0 AB 1 0 c d 0 1 2a c 2b d 1 0 b 0 1 a

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2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1, 又因为

a 0, b 1, c 1, d 2.

AB

BA

2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1 所以

0 1 A . 1 2 1

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定理1

矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ,且 1 1 A A, A

其中A 为矩阵A的伴随矩阵.

证明 若 A 可逆，即有A 1使AA 1 E .

故 A A 1 E 1,

所以 A 0.

当 A 0时,

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当 A 0时, a11 a12 a1n A11 A21 An1 a a22 a2 n A12 A22 An 2 21 AA a A a A a A A 11 12 1 1n 11 12 n a a a A A A n1A n a A nn n a 2 nA A 1 2 nn an1 n1 n2 n2 nn nn

A

A

O

OA

, A

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A A AA A A A E A A E , A A按逆矩阵的定义得

A A . A 1

证毕

奇异矩阵与非奇异矩阵的定义当 A 0时, A称为奇异矩阵,当 A 0时, A称为 非奇异矩阵.由此可得A是可逆阵的充要条件是 为非奇异矩阵 A .

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推论 证明

若AB E 或BA E , 则B A 1 .A B E 1,

故 A 0,

因而A 1存在, 于是B EB A 1 A B A 1 AB

A E 1

1

A

1

证毕

逆矩阵的运算性质

1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且 A

1 1

A.

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2 若A可逆, 数 0, 则 A可逆, 且 A A 1 . 1

1

3 若A, B为同阶方阵且均可逆则AB亦可逆, 且 , A B 1 1 B 1 A证明

AB B 1 A 1 A BB 1 A 1 1 AEA 1 AA E ,

AB 1 B 1 A 1 .

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推广

A1 A2 Am 1 Am 1 A2 1 A1 .1

4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 AT

T 1

A . 1 T

证明

A AT

1 T

A A 1 1 T

T

E T E,

A

T 1

A

.

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5 若A可逆,则有 A A . 1 1

证明

AA 1 E

A A 1 1

因此 A A . 1

1

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三、逆矩阵的求法例1

1 2 3 求方阵 A 2 2 1 的逆矩阵. 3 4 3 1 2 3

A 1存在. 解 A 2 2 1 2, 3 4 3A11 2 1 4 3 2, A12 2 1 3 3 3,

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同理可得

A13 2, A21 6, A22 6, A23 2,

A31 4, A32 5, A33 2,

得故

6 4 2 A 3 6 5 , 2 2 2

3 2 6 4 1 2 1 1 A 1 A 3 6 5 3 2 3 5 2 . A 2 1 1 1 2 2 2

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例2 下列矩阵A, B是否可逆? 若可逆, 求出其逆 矩阵. 2 3 1 1 2 3 B 1 3 5 . A 2 1 2 , 1 5 11 1 3 3

1 2 3解

1 0

2 1

3 0

A 2 1 2 0 3 4 1 3 3