03 第三节 二重积分的计算(2)

二重积分的计算

第三节 二重积分的计算(2)

有些二重积分，其积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较简单，如圆形或扇形区域的边界等. 此时，如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式，则应考虑用极坐标来计算这个二重积分.

分布图示

★ 利用极坐标系计算二重积分 ★ 二重积分化为二次积分

★ 例2 ★ 例3 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例8 ★ 例9

★ 平面薄片的重心 ★ 例11 ★ 平面薄片的转动惯量 ★ 例12 ★ 平面薄片对质点的引力 ★ 例14 ★ 一般曲线坐标系中二重积分的计算

★ 例15 ★ 例16

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★ 例1

★ 例4 ★ 例7 ★ 例10 ★ 例13

★ 例17

内容要点

一、在极坐标系下二重积分的计算

极坐标系下的面积微元 d rdrd ，直角坐标与极坐标之间的转换关系为 x rcos , y rsin , 从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式

f(x,y)dxdy f(rcos ,rsin )rdrd (3.1)

D

D

二、二重积分的应用

平面薄片的重心 平面薄片的转动惯量 三、在一般曲线坐标系中二重积分的计算 二重积分的一般换元分式.

例题选讲

在极坐标系下二重积分的计算

例1 (E01) 计算

D

e (x

2

y2)

d ,其中D是由圆x2 y2 R2所围成的区域.

解 如图，在极坐标系下，积分区域D的积分限为0 2 ,0 r R,于是

2

D

e (x

2

y2)

d d

2 R

e

r2

rdr 2

R

e

r2

rdr

R

R

e rd( r2) (e r|0) (1 e R).

22

二重积分的计算

例2 计算二重积分

1 x

D

dxdy

2

y

2

, 其中D是由x2 y2 1所确定的圆域.

解 如图(见系统演示)，区域D在极坐标下可表示为0 r 1,0 2 , 故

例3 (E02) 计算确定的圆环域.

解 由对称性，可只考虑第一象限部分,D 4D1, 注意到被积函数也有对称性,则有

D

2 1rdrdxdy

d

001 r21 x2 y2

2

1

1 r2)]d 20

1

2

11

ln2d ln2

22

2

ln2.

D

sin( x2 y2)

x2 y2

dxdy, 其中积分区域D是由1 x2 y2 4所

D

sin( x2 y2)

x y)

2

2

4

D

sin( x2 y2)

x y)

2

2

4

2

d

2sin r

1

r

4.

y2

例4 (E03) 计算 2dxdy, 其中D是由曲线x2 y2 2x所围成的平面区域.

xD

解 积分区域D是以点(1,0)为圆心，以1为半径的圆域，如图.其边界曲线的极坐标方程为r 2cos . 于是区域D的积分限为 所以

2

2

,0 r 2cos .

D

y2

dxdy 2x

D

r2sin2

rdrd 22

rcos

d

2 2

2cos

sin2

2

cos

2

2

2

2sin d (1 cos2 )d

2

2

.

例5 (E04) 写出在极坐标系下二重积分

f(x,y)dxdy的二次积分，其中区域

D

D {(x,y)|1 x y x2,0 x 1}.

解 利用极坐标变换x rcos ,y rsin ,易见直线方程x y 1的极坐标形式为

r

1

,

sin cos

故积分区域D的积分限为0 所以

1

r 1,

2sin cos ,

D

f(x,y)dxdy

2

d

1

1sin cosf(rcos ,rsin )rdr.

二重积分的计算

例6 计算

(x

D

2

y2)dxdy, 其中D为由圆x2 y2 2y, x2 y2 4y及直线

x y 0, y 3x 0所围成的平面闭区域.

解 y 3x 0

n x2 y2 4 4si

3

x

3y 0

6

n x2 y2 2 2si

所以

D

(x y)dxdy

22

3d 6

4sin

2sin

r2 rdr 60 3sin4 d 15(

6

2

3).

例7 将二重积分

2

f(x,y)d

D

化为极坐标形式的二次积分, 其中D是曲线

x y a, x

2

2

2

a a22

及直线x y 0所围成上半平面的区域. y

2 4

s,y rsin ,则D的边界的极坐标方程分别变为解 如图，令x rco r

a,r acos 及 3 4.

D1:0 2,acos r a; D2: 2 3 4,0 r a.

f(x,y)d f(x,y)d f(x,y)d

D

D1

D2

2

d

a

acos

f(rcos ,rsin )rdr

22

2

2

2

3 4

2

d f(rcos ,rsin )rdr.

02

a

例8 (E05) 求曲线(x y) 2a(x y)和x y a所围成区域D的面积. 解 根据对称性有D 4D1,在极坐标系下

22

x2 y2 ar

a,

s , (x2 y2)2 2a2(x2 y2)r a2co2

二重积分的计算

r a2cos2由 ,得交点A a, , 6 r a

故所求面积

0

dxdy 4 dxdy 4 rdrd 4 6d D

a2cos2

D1D1

a

4a

2

6

cos2 d a2 .

3

例9 (E06) 求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面x2 y2 2ax(a 0)所截得的(含在圆 柱面内的部分)立体的体积.

解 如图，由对称性，有

V 4 4a2 x2 y2dxdy,

D

其中D为半圆周y 2ax x2,及x轴所围成的闭区域.

在极坐标中，积分区域D:0 2,0 r 2acos .

V 4 4a rrdrd 4 d

D

20

22

2acos

4a2 r2rdr

3232 2 a3 2(1 sin3 )d a3 .

033 23

例10 (E07) 计算概率积分解 记I(R)

I2(R)

e xdx.

2

R

e x2dx,其平方

R

2 e xdy

R

2 e xdx

R

e xdx

2

R

e ydy

2

D

e (x

2

y2)

dxdy.

于是

D1

e (x

2

y2)

dxdy

D

e (x

2

y2)

dxdy

D2

e (x

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