2013届高考数学一轮复习讲义：9[1].5 直线与圆的综合应用

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一轮复习讲义

直线与圆的综合应用

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要点梳理与几何的融合.

忆一忆知识要点

1.解析几何的基本方法是坐标法，通过数形结合实现代数 2.直线与圆相结合常涉及代数中解方程、不等式，求函数 最值等.在解直线与圆的问题时，要善于灵活运用图形 性质、方程观点综合考察. f(x)-m 3.注意运用代数式的几何意义，如出现 的形式可以 x-n 想到斜率；出现(m-x0)2+(n-y0)2 想到可转化为距离； 而 mx+ny, (x-x0)2+(y-y0)2 的结构， 可通过整体代换： mx+ny=t,(x-x0)2+(y-y0)2=R2 可转化为直线、圆的 相关问题.

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[难点正本

疑点清源]

1.直线与圆的最值问题解题思路 (1)代数法：利用平面几何中的有关公式，构造函数，根 据函数最值的求法进行求解.在转化过程中常用到向量 的数量积、二次方程根与系数的关系、换元等知识和方法. (2)几何法：找到所求式的几何意义，在坐标系中与圆建立 联系， 分析其与圆的位置变化情况， 找到最大、 最小取值点. 2.特征三角形 掌握圆心距和两圆半径的关系以及圆的平面几何性质对于 解决圆的问题起到很重要的作用. 涉及与圆的弦有关的问题 时，为简化运算，常利用半弦长、弦心距及半径构成的直角 三角形进行解题.

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与圆有关的最值问题例 1 已知实数 x,y 满足方程 x2+y2-4x+1=0. y 求：(1)x的最大值和最小值； (2)y+x 的最大值和最小值； (3)x2+y2 的最大值和最小值. y 解 方法一 (1)令x=t,则 x2+t2x2-4x+1=0,即(1+t2)x2-4x+1=0.由 Δ≥0,得- 3≤t≤ 3. y ∴x的最小值为- 3,最大值为 3.

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(2)令 y+x=m,则 y=-x+m,x2+(-x+m)2-4x+1=0, 即 2x2-(2m+4)x+m2+1=0. 由 Δ≥0,得 2- 6≤m≤2+ 6. y 方法二 (1)x即为圆(x-2)2+y2=3 上的点与原点连线的斜率，由于 OC=2,CT1 =CT2= 3(T1,T2 为过 O 引圆的两切线的 切点),所以∠T1OC=∠T2OC=60° , ∴ kOT1=- 3,kOT2 = 3.y y ∴x∈[- 3, 3],x的最小值为- 3,最大值为 3.

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(2)令 y+x=m,y=-x+m,直线 y=-x+m 与圆 x2+y2- 4x+1=0 有公共点时，其纵截距在两相切位置对应的纵截距 |2+0-m| 之间，而相切时有 = 3, 2 |m-2|= 6,m=2± 6.∴y+x 的最大值为 2+ 6,最小值为 2- 6.

(3) x2+y2表示圆 x2+y2-4x+1=0 上的点到原点的距离， 故 其最大值为 2+ 3,最小值为 2- 3.∴x2+y2 的最大值为 7+4 3,最小值为 7-4 3.

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探究提高变元转换，构造方程与数形结合(明确代数式的几何意义)是 处理二元条件最值问题的常用方法.我们还可以运用参数方 x=2+ 3cos 法 y= 3sin α

α

(α 为参数)来处理

.

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变式训练 1已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0. y+2 (1)求 的最大值和最小值； x+1 (2)求 x-2y 的最大值和最小值； (3)求 P(x,y)点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值和最 小值.解 (1)原方程可化为(x-2)2+y2=3, 表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆， y+2 y+2 的几何意义是圆上一点与(-1, -2)连线的斜率， 设 x+1 x+1 =k,即 y+2=k(x+1).

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当此直线与圆相切时，斜率 k 取得最大值或最小值，此时 |2k+k-2| 6+ 30 6- 30 = 3,解得 k= 或 k= . 6 6 k2+1 y+2 6+ 30 6- 30 ∴ 的最大值为 ，最小值为 . 6 6 x+1 (2)x-2y 可看作是直线 x-2y=b 在 x 轴上的截距，当直线与圆相切时，b 取得最大值或最小值. |2-b| 此时： = 3,∴b=2+ 15或 b=2- 15. 5∴x-2y 的最大值为 2+ 15,最小值为 2- 15.(3)∵圆心(2,0)到直线 3x+4y+12=0 的距离为 |6+12| 18 d= = , 5 5 ∴P(x,y)到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值为 18 18 + 3,最小值为 - 3. 5 5

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与圆有关的弦长问题例 2 直线 l:x-ky+2 2=0 与圆 C:x2+y2=4 交于 A,B 两点， 为坐标原点， O △ABC 的面积为 S.求 S 的最大值， 并求此时直线 l 的方程.方法一 ∵直线 l 与圆 C 交于两点， 2 2 ∴ 2<2.解得 k<-1 或 k>1. 1+k k2-1 8 ∵AB=2 4- =4 , 1+k2 k2+1 k2-1 2 2 1 ∴S(k)= · 4 · 2 k2+1 1+k2 4 2· k2-1 4 2 4 2 = = ≤ =2, 2 k2+1 2 2 k2-1+ 2 k -1 主页 解

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2 当且仅当 k -1= 2 , k -12

即 k=± 3时，S 取得最大值 2,此时直线 l 的方程为 x- 3y +2 2=0 或 x+ 3y+2 2=0.方法二 设 O 到直线 AB 的距离为 m,则 AB=2 4-m2, 4-m2+m2 1 ∴S= AB· m= 4-m2· m= (4-m2)· 2≤ m =2, 2 2当且仅当 4-m2=m2,即 m= 2时等号成立. ∴S 的最大值为 2. 2 2 此时由 2= 2,得 k=± 3. 1+k直线 l 的方程为 x± 3y+2 2=0.

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探究提高为了表示△ABC 的面积，应先选择适当的变量，而变量的选 择取决于影响确定图形的因素，本题可以直接选用题设中的 变量，也可以改用弦心距为自变量，很明显，由于设出的变 量即为高，而底(弦长)又极易用高表示，故后者的运算量相 对较小.

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变式训练 2已知圆 C:x2+(y-a)2=4,点 A(1,0). (1)当过点 A 的圆 C 的切线存在时，求实数 a 的取值范围； (2)设 AM,AN 为圆 C 的两条切线，M、N 为切点，当 MN 4 5 = 时，求 MN 所在直线的方程. 5 解 (1)过 A 的切线存在，即点 A 在圆外或圆上，∴1+a2≥4,∴a≥ 3或 a≤- 3.(2)设 MN 与 AC 交于点 D, 4 5 2 5 ∵MN= ,∴DM= . 5 5

又∵MC=2,∴CD= CD 2 ∴cos∠MCA=MC= , 5

4 4 4- = , 5 5

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