高一数学人教a版必修二 习题 第四章 圆与方程 4.2.1 含答案

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2015·景德镇期末)直线4x－3y－2＝0与圆x2＋y2－2x＋4y－11＝0的位置关系是( )

A．相离B．相切

C．相交过圆心D．相交不过圆心

解析：圆心(1，－2)到直线4x－3y－2＝0的距离d＝|4×1－3×(－2)－2|

42＋(－3)2

＝8

5

，圆的半径r＝4.所以d＜r.

又圆心(1，－2)不在直线4x－3y－2＝0上，故选D.

答案： D

2．(2015·扬州竹西中学月考)如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同

的交点，那么点P(a，b)与圆的位置关系是( )

A．P在圆外B．P在圆上

C．P在圆内D．P与圆的位置关系不确定

解析：由题意，得

4

a2＋b2

＜2，

得a2＋b2＞4，即点P(a，b)在圆x2＋y2＝4外，故选A. 答案： A

3．若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( ) A．0或2 B．2

C. 2 D．无解

解析：因为直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，

所以(0,0)到直线x＋y＋m＝0的距离为m(m＞0)，

即|0＋0＋m|

12＋12

＝m，整理，得m2＝2m.

解得m＝2或m＝0(舍去)，故选B.

答案： B

4．过点(0,1)的直线与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )

A．2 B．2 3

C．3 D．2 5

解析：当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G(0,1)的连线与直线AB垂直时，圆心到直线AB的距离取得最大值，

即d＝|OG|＝1，此时弦长最短，即|AB|

2

≥R2－d2＝4－1?|AB|≥23，

故选B.

答案： B

二、填空题(每小题5分，共15分)

5．若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．

解析： 根据圆的弦的性质和直线与圆的位置关系求解．

因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．又因为圆与直线y ＝1相切，所以

(4－2)2＋(0－m )2＝|1－m|，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋?

?????y ＋322＝254. 答案： (x －2)2＋? ??

???y ＋322＝254 6．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．

解析： 由题意可得，圆心为(2，－1)，r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2－2－3|12＋22＝355，

所以弦长为2

r 2－d 2＝24－95＝2555. 答案： 2

555

7．过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________．

解析： 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝1，即圆心为(1,2)，半径长为1.设所求直线的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.

由于直线与圆相交所得弦的长为2，圆的半径长为1，则圆心到该直线的距离

为 12－? ??

???222＝0，即圆心在直线kx －y ＝0上，于是k －2＝0，即k ＝2. 故所求直线的方程为y ＝2x.

答案： y ＝2x

三、解答题(每小题10分，共20分)

8．求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0所截得的弦长为27的圆C 的方程．

解析： 设圆心C 的坐标为(a ，b)，点C 在直线3x －y ＝0上，所以C(a,3a)，

且点C 到直线x －y ＝0的距离为|2a|2

. 设圆C 被直线x －y ＝0截得的弦为AB ，H 为弦AB 的中点，则|AH|＝

7，又圆C 与x 轴相切，则半径长r ＝3|a|，于是? ?????|2a|22＋(7)2＝(3|a|)2，解得a ＝1或a

＝－1，r 2＝9，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9.

9．已知点M(1，m)，圆C ：x 2＋y 2＝4.

(1)若过点M 的圆的切线只有一条，求m 的值及切线方程；

(2)若过点M 且在两坐标轴上的截距相等的直线被圆截得的弦长为23，求m 的值．

解析： (1)由于过点M 的圆的切线只有一条，故点M 在圆C 上，所以1＋m 2＝4，所以m ＝± 3.

所以切线方程为x ±3y －4＝0. (2)由于圆C 的直径为4>2

3，故所求直线不过圆心，即不过原点．设所求直线的方程为x a ＋y a

＝1(a ≠0)， 即x ＋y －a ＝0，