数值分析(课后习题答案详解)

一.习题1(第10页)1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分 别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.

x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6 105.解 绝对误差限分别为: 1=0.5 10-3, 2=0.5 10-4, 3=0.5 10-5, 4=0.5, 5=0.5 104 . 相对误差限分别为: r1=0.5 10-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%, r3=0.0923%, 4=0.0083%, 5=8.3%. 有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位. 1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有

几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032解 有效数位分别为: 3位,1位,0位.

1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位 有效数字? 解 因为101/2=3.162…=0.3162… 10,若具有n位有效 r=0.5 101-n/3.162…<0.5 101-n/3<0.01%

数字,则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有 因此只需n=5.即取101/2=3.1623 1-4.求方程x2-56x+1=0的两个根,使它们至少具有四位有效数字 ( 783 27.982). 解 x1=28+27.982=55.982,x2=1/x1=0.017863

二.习题2 (第50页)2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组 3 2 6 x1 4 10 7 0 x 2 7 5 1 5 x 6 3

解 3 2 6 4 10 7 0 7 5 1 5 6 r2 r3 r1 r2

10 7 0 7 3 2 6 4 5 1 5 6 消元

消元

10 7 0 7 0 0.1 6 6.1 0 2.5 5 2.5

10 7 0 7 0 2.5 5 2.5 0 0.1 6 6.1

7 10 7 0 0 2.5 5 2.5 0 0 6 . 2 6 . 2

回代得解:

x3=1, x2=-1, x1=0

2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中 2 1 1 A 1 3 2 1 2 2 4 , b 6 5

解 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 5 3 5 3 5 ,所以 A 2 1 2 2 A 1 3 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 3 3 3 3 1 1 2 2 2 5 5 5 2 5 5 2 y1 4 1 y1 4 1 解 2 1 y 2 6 ,得 y 2 4 1 3 1 y 5 y 3 2 5 3 3 5 x1 1 2 1 1 x1 4 5 3 再解 2 2 x 2 4 ,得 x 2 1 3 x 1 3 x 3 5 5 3

2-4.对矩阵A进行LDM分解和Crout分解，其中 2 1 2 A 4 5 6 6 15 15

解11 1 2 11 2 1 2 22 2 2 2 A 4 5 6 4 3 3 3 6 15 15 12 6 1

1 2 1 1 2 2 故得Crout分解： A 4 3 1 3 6 12 1 1 1 1 2 1 1 2 2 LDM 分解为： A 2 1 3 1 3 3 4 1 1 1

2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组 Ax=b,其中8 16 4 A 4 5 4 8 4 22

解

1 , b 2 3

2 8 4 11 2 2 16 4 3 3 A 4 5 4 1 2 3 8 4 22 2 3 3

4 4 1 2 T 故得GG 分解： A 1 2 2 3 2 3 3 3 1 1 16 1 1 4 2 1 T 3 LDL 分解为： A 4 1 4 1 2 1 3 1 9 1 2 2

y1 0.25 4 y1 1 解 1 2 y 2 2 ,得 y 2 0.875 2 3 3 y 3 y 1.7083 3 3 x1 0.5451 4 1 2 x1 0.25 再解 2 3 x 2 0.875 ,得 x 2 1.2916 x 0.5694 3 x 3 1.7083 3

2-6(1).给定方程组 10 2 x y 1 x y 2

a.用Cramer法则求其精确解. b.用Gauss消元法和列主元Gauss消元法求解,并比较结果.(用两位浮点计算). 解 a.x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899 b.用Gauss消元法

10 2 x y 1 x y 2

10 2 x y 1 100 y 100

回代得解:

y=1, x=0. 10 2 x y 1 x y 2

再用列主元Gauss消元法 x y 2 y 1

回代得解:

y=1,

x=1.

2-8.用追赶法求解方程组: 4 1 x1 100 1 4 1 x 2 0 x 0 1 4 1 3 1 4 1 x 4 0 x 200 1 4 5

解1 1 4 4 1 4 4 15 15 4 4 15 1 4 4 15 1 4 1 56 15 56 15 1 15 1 4 1 15 56 56 56 209 1 1 1 4 1 56 209 1 780 1 4 209

4 15 1 4 56 1 15 解 209 1 56 1

y1 25 y1 100

y 2 6.6667 y 2 0 y 0 ,得 y 1.7857 3 3 y 4 0.47847 y 4 0 200 y 53 .718 780 y 209 5 5

1 1 4 1 再解

4 15

1

15 56 1

x1 25 x1 27.051 x 2 6.6667 x 2 8.2052 x 1.7857 , 得 x 5.7693 3 3 56 209 x 4 0.47847 x 4 14 .872 x 53 .718 x 53 .718 1 5 5

2-10.证明下列不等式:(1) x-y x-z + z-y ; 证明 (2)| x - y | x-y ; (1) x-y = (x-z)+(z-y) x-z + z-y

(2) 因为 x = (x-y)+y x-y + y 所以 x - y x-y ,同理可证 y - x x-y 于是有 | x - y | x-y .

2-11.设 为一向量范数,P为非奇异矩阵,定义 x p= Px , 证明 x p 也是一种向量范数. 证明 (1) x p= Px 0,而且 Px =0 Px=0 x=0 (2) x p= P( x) = Px =| | Px =| | x p (3) x+y p= P(x+y) = Px+Py Px + Py = x p+ y p

所以 x p是一种向量范数.2-12.设A为对称正定矩阵,定义 x A= x T Ax ,证明 A 是一种向量范数. 证明 由Cholesky分解有A=GGT,所以 x A (G T x) T (G T x)

= GTx 2,由上题结果知 x A是一向量范数.

2-16.对任意矩阵范数 ,求证:(1) E 1 (2) A 1

1 A

(3) A 1 B 1 A 1 B 1 A B

证明

(1)因为 A = AE A E ,所以 E 1. ,故A 1

(2)1 E = AA-1 A A-1

1 . A

(3) A-1-B-1 = A-1(B-A)B-1 A-1 B-1 A-B

2-17.证明: (1)如果A为正交矩阵,则Cond2(A)=1;(2)如果A为对称正定矩阵,则Cond2(A)= 1/ n, 1和 n

分别为A的最大和最小特征值.证明 (1)A正交,则ATA=AAT=E,Cond2(A)= A 2 A-1 2=1. (2)A对称正定,ATA=A2, A 2= 1. A-1 2=1/ n.

三.习题3 (第75页)3-2.讨论求解 …… 此处隐藏：2642字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……