高三数学递推数列的通项公式系列习题

全面 详细的高中数学递推数列的通项公式系列习题

数列专题： 数列专题：递推数列的通项公 式, , 一、递推关系为 an+1 = Aan + B(A≠1 A B ≠ 0) 型

( 设an+1 + x = A an + x) an+1 = Aan +(A 1)x,令

( A 1) x = B。则

B x= A 1

B B B B a + = A an + ≠ 0 时，数列 n 故an+1 + 是以 A 为 ,当 a + 1 A 1 A 1 A 1 A 1公比的等比数列。 例1(2006年重庆高考)在数列 的通项公式 an

=

{an } 中，若 a1 = 1, an +1 = 2an + 3 则该数列。

解：由 an +1 + 3 = 2(an + 3) 得数列

{an + 3} a1 + 3 = 4 为首项，公比为2的等比数 是以

列，即 an

+ 3 = (a1 + 3) 2n 1 an = 2n +1 3

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例2.(2007年全国高考卷)设数列 {an } 的首项 则

3 an 1 a1 ∈ ( 0,1) , an = , ( n ≥ 2) 2。

{an } 的通项公式为

3 an 1 1 an 1 = ( an 1 1) ,得 数列是以 a1 1 ≠ 0 解：由 an = 2 2 n 1 n 1 1 1 1 为首项，公比为 则 an 1 = ( a1 1) an = 1 + (a1 1) 2 2 2 二、递推关系为

an+1 = Aan + f ( n) ,(A≠ 0)

1、当A=1时，有

an+1 an = f (n)

型

,此时可用累加法求

an。

例3、数列 an } 中， 1 a { 解：an +1

= 1, an +1 = an + n ,则数列的通项公为

= an + n an +1 an = n an =( an an 1) +( an 1 an 2 ) + +(a3 a2) +(a2 a ) +a 1 1

n(n 1) +1 = (n 1) + (n 2) + (n 3) + + 2 +1+1 = 2

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2、当A ≠1时，f (n) = Bn +C ,可设 例4、在数列 {an } 中， 1 数列的通项公式。 解：设 an +1 即

an+1 + x(n+1 + y = A(an + xn+ y) ),求

a = 2, an +1 = 4an 3n + 1, n ∈ N *

+ x(n + 1) + y = 4(an + xn + y ) an +1 = 4an + 3 xn + (3 y x)

令

3 x = 3 x = 1 an +1 (n + 1) = 4(an n) 3 y x = 1 y = 0

又 a1 1 = 1 ,所以数列 {an n} 是以1为首项，4为公比的等比数列， 所以

an n = 4n 1

即

an = 4n 1 + n

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3、当A

≠1时， f (n) = B αn,(B ≠ 0,α > 0)n

时 a +1 = Aa + f n nn

( n) ,(A≠ 0)

(1)若A=α ,则由 an +1

= Aan + B α an +1 = α an + B α

an +1

α

n

α

ann 1

=B

an a n 1 是以 10 为首项，公差为B的等差数列。 即数列 α α n+1 n a { 例5、(2007年天津高考)在数列 an } 中， 1 = 2, an+1 = λan + λ + (2 λ) 2 , ( n ∈ N *)其中λ

λan λn+1 (2 λ) 2n 解：由 a = λa + λn+1 + (2 λ) 2n = n+1 + n+1 + n+1 n n+1 λ λ λ λn+1an+1n+1 n an+1 2 n+1 an 2 n an 2 2 n+1 = n + +1 n+1 n =1 λ λ λ λ λ λ λ λ 2

> 0,求数列 {an } 的通项公式。

an+1

又 λ λ = 0 an 2 n 是以0为首项，1为公差的等差数列， 所

以数列 2 = n 1 an = 2n + ( n 1) λ n 所以 n λ λ an

a1

n λ λ n

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(2)若 A ≠ α 。因 f (n) 中含有 α ,所以设n

an +1 + xα n +1 = A ( an + xα n )4 1 2 an × 2n +1 + 3 3 3

例6、(2006年全国高考卷)设数列 {an } 的前 n 项和 S n = 求首项

a1

与通项

an4 1 2 a1 × 22 + 3 3 3

解：当 n = 1 时，a1 = S1 = 所以a1 当

4 1 n +1 4 1 n n ≥ 2 时 an = S n S n 1 = an × 2 an 1 + × 2 3 3 3 3

=2

即

an = 4an 1 + 2n

+ 2n = 4(an 1 + 2n 1 ) 又 a1 + 2 = 4 n 所以数列 {an + 2 } 是以4为首项，4为公比的等比数列所以有 an

an + 2n = 4n 所以a = 4 n 2 n n所以

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三、形如

an+2 = Aan+1 + Ban 型，一般设 an+2 + xan+1 = y(an+1 + xan )

5 5 2 例7(2004年高考重庆试题)设 a1 = 1, a2 = , an + 2 = an +1 an 3 3 3求数列的通项公式 解：设 an + 2 令

+ xan +1 = y (an +1 + xan )

即

an + 2 = ( y x ) an +1 + xyan )

5 2 y x = , xy = 3 3 2 a an +1 2 解得： = 1, y = , n+2 x = 3 an +1 an 3

所以数列

{an +1 an }是以 a2 a1 = 2n 1

2 为首项，公比是 的等比数列。即 an +1 an 3

2 = (a2 a1 ) 3 n

2 = 3

n

3

a n = ( a n a n 1 ) + ( a n 1 a n 2 ) + + ( a 2 a1 ) + a1 2 = 3 n 1

2 + 3

n 2

2 + 3

n 3

2 1 2 3 + + + 1 = 2 3 1 3

n 2 = 3 1 3

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c an +d c a2 +d n 四 递 关 为 n+1= 、 推 系 a 或 n+1= a 的 列 an} 求 项 式 骤 下 数 { 通 公 步 如 ： p an +q p an +q cx+d cx2 +d ( 令 n+1=f(x),an =x, 辅 函 f(x)= 1) a 由 助 数 或 f(x)= px +q px+q ( 解 程 2) 方 f(x)=x得 实 根 , β α, β叫 函 f(x)的 动 ) 两 数 α ( 做 数 不 点 an -α ( 3)构 新 列 n = 造 数 b , 数 {bn}的 点 常 两 ： 新 列 特 通 有 种 an -β 1、 递 关 为 n+1= 若 推 系 a c an +d , 数 {bn} 一 为 比 列 则 列 般 等 数 ； p an +q

c a2 +d 2 n 2、 递 关 为 n+1= 若 推 系 a , 数 {bn} 一 满 bn+1=b, 终 迭 法 bn 则 列 般 足 最 用 代 求 n p an +q ( 求 bn的 达 4) 出 表 式 ( 最 求 an的 达 5) 后 出 表 式

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例8、若数列{bn }中b1 =2,bn+1 =解 ： 设 f(x)= 令 cn = b1 + 2 b1 - 2 3b n +4 2b n +3

3bn +4 ,求bn 2bn +32

3x+4 , 则 由 f(x)=x求 出 的 两 个 不 动 点 ± 2x+3

因 为 b n+1 =

3b n +4 + 2b n +3 b n+1 + 2 所 以 c n+1 = = 3b n +4 b n+1 - 2 2b n +3 = 3 + 2 2 bn + 3 2 2 bn 2 2 = 3+ 2 2

2 = 2

3b n +4+ 2 ( 2 bn + 3 ) 3b n +4-

(3 + 2 2 ) b = 2 ( 2 bn + 3 ) ( 3 2 2 ) b

n n

+ (4 + 3 2 ) + (4 3 2 )

(

)

2

cn

又 c1 =

b1 + 2 = 3+ 2 2 b1 - 2

所 以 数 列 {c n } 是 以 3 + 2 2为 首 项 ，

3 + 2 2 所 以 cn = 3 + 2 2

(

)

2

为公比的等比数列，

(

)

2 n 1

b + 2 即 n = 3+ 2 2 bn - 2

(

)

2 n 1

bn =

2+

(

2 2 3+ 2 2

)