2011年上海高考理科压轴题推广

2011年全国高考理科上海卷压轴题很有趣,题目如下：已知平面上的线段l及点P,在l上任取一点Q,线段PQ长度的最小值称为点PN线段l的距离,记作d(只l).设l是长为2的线段,

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数学教学

21年第 1 02期

2 1年上海高考理科压轴题推广 0 150 1华南师范大学数学科学学院黄靖舒 13 62 1年全国高考理科上海卷压轴题很有趣， 01 题目如下：已知平面上的线段 Z及点 P, f在上任取一点Q,线段 PQ长度的最小值称为点 P到线P

段的距离，记作 d Z设 Z ( ) .是长为2的线段，求

点集 D:{ dP f PI, ( )≤ 1所表示图形的面积 )( 1第小题与第 3小题略) . 该题只用一个简单的新定义，便构建起新的问题情境，曾相识却又大不相同，似考查了学生将已有知识迁移到新问题的能力. 沿用该题的定义，若将题中的“线段”改为“圆图 1

弧8,”则D={ dP≤r ( PI( 1)}下记为D表示 8 )的图形形状如何？面积是多少？若将“线’改成个“闭图形”又如何呢？带着思考，封，笔者对该题第 2小题的结论进行了推广研究.为行文方一

段的情况，猜想d尸 ) d A如图2 (j= p . 8所示，取弧上任意点 Q,连结 PQ,设 J0=, AOB F Q Z )2 ( <7, 0 0< r由余弦定理知PQ )=PO+ oQ—2 O P OQCS zPO与 ( OO,= ) Q均为定值，故=

便，义点 P到图形 Q的距离为： Q上任取一定在

要使 P Q最小，只需研究C St O在何时取最大值. O 设 J(= 0 0< 0≤ F= )A ( ) (,= )则 0< E)

点 Q,线段 PQ长度的最小值，记作 dP )并 (j;记点P到线段f所在直线的距离为d (, R1点P到 )点 Q的距离为 d Q. p 1 .由直线段到圆弧对于线段 AB,由过端点且垂直于 B的两

O≤7+f L r ) .由余弦函数的性质知，O在[ 7 CS 0r,] 上单调递减， 7 2】在【,丌上单调递增. r故取射线0的反向延长线 (其将区域 3= ) F,分为两部分.

条平行线将平面划分为三个区域，三个区域中的

点到 A B的距离依次为 d A d ( B)d B那 p,pA,p .么对于圆弧是否有类似的性质呢？先考察平面上劣弧的情况.为方便，劣弧 8记的圆心为 (,=半 )径为 r劣弧的两个端点分别为、B.经尝试，发现，平面亦可被射线 OA OB、劣弧 s、以及射线 0

E ( E在 AOB的外部，且 (E=点= ) B(E)二划分为四个区域， )如图 1所示.

图 2

() 1当点 P落在 Z OA的内部 (含射线 F包(时，二 ) F)易知 0< 0<≤ 7 r .故当= O Z 0

若点J落在区域 1包含射线和 ) F ) (中，易知 dJ s (,)= d o—r P p .因为连结 P(,二必与 s ) 交于一点 Q,弧 s异于点 Q的任意点 R, 取上由三角形性质可知， PQ+Qt<PR+R于是二 ) 0, PQ<PR,故结论成立.类似可证明，若点 P落在区域 2有d尸 s= r p ., (,)—d o

时， O取最大值。 C8 () 2当点 P落在 F 的内部时， D易知 0< 0< O L≤ 7 r≤ 2 o由余弦函数性质可 + .

若点 P在区域 3(包含射线 OE,比直线 )类

知 CSL OO的最大值为 CS或cs2+ )由于 O o o(0 0. CS的图像关于直线= 7 O r对称， (+—而 2 0 7一 (—O ) 2 o+2 2 r ) 7 z= a r 0 0— 7 0即 2 r≤,+