4.3.1_空间直角坐标系_课件(人教A版必修2)

4.3

空间直角坐标系

4.3.1 空间直角坐标系

1.已知点 A(-3,1,-4),则点 A 关于原点的对称点坐标 为( C ) A.(1,-3,-4) C.(3,-1,4) B.(-4,1,-3) D.(4,-1,3)

2.点 P(3,-2,1)关于坐标平面 yOz 的对称点的坐标为( A ) A.(-3,-2,1) C.(-3,-2,-1) B.(-3,2,-1) D.(-3,2,1)

3.已知点 A(-3,1,4),则 A 关于 x 轴的对称点的坐标为( A ) A.(-3,-1,-4) C.(3,-1,4) B.(3,-1,-4) D.(-3,-1,4)

4.点 A(-1,2,1)在 x 轴上的投影点和在 xOy 平面上的投影 点分别是( B ) A.(-1,0,1),(-1,2,0) B.(-1,0,0),(-1,2,0) C.(-1,0,0),(-1,0,0) D.(-1,2,0),(-1,2,0)

重点

空间直角坐标系

1.在空间直角坐标系中，O 叫做坐标原点，x、y、z 统称 为坐标轴.由坐标轴确定的平面叫做坐标平面；所确立的空间 坐标系是右手直角坐标系，即伸开右手，拇指指向 x 轴正方向， 食指指向 y 轴正方向，中指指向 z 轴正方向. 2.卦限：三个坐标平面把空间分为八部分，第一部分称为 一个卦限.在坐标平面 xOy 上方，分别对应该坐标平面上四个 象限的，称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限；在下方的卦限称为Ⅴ、 Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.各卦限的符号为：

第Ⅰ卦限：x>0,y>0,z>0; 第Ⅱ卦限：x<0,y>0,z>0; 第Ⅲ卦限：x<0,y<0,z>0; 第Ⅳ卦限：x>0,y<0,z>0; 第Ⅴ卦限：x>0,y>0,z<0; 第Ⅵ卦限：x<0,y>0,z<0; 第Ⅶ卦限：x<0,y<0,z<0; 第Ⅷ卦限：x>0,y<0,z<0. 3.空间点的对称：在空间直角坐标系中，已知点 P(x,y, z),则

(1)关于原点的对称点是(-x,-y,-z); (2)关于 x 轴的对称点是(x,-y,-z); (3)关于 y 轴的对称点是(-x,y,-z); (4)关于 z 轴的对称点是(-x,-y,z); (5)关于 xOy 坐标平面的对称点是(x,y,-z); (6)关于 yOz 坐标平面的对称点是(-x,y,z); (7)关于 zOx 坐标平面的对称点是(x,-y,z). 记忆方法：“关于谁对称则谁不变，其余相反”.

建立空间直角坐标系并写出相应点的坐标 例 1:已知正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10,试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 思维突破：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥 的性质，建立适当的空间直角坐标系. 解：∵正四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 4,侧棱长为 10,∴正四棱锥的高为 2 23.

以正四棱锥的底面中心为原点，以垂直于 AB、BC 所在的 直线分别为 x 轴、y 轴，建立如图 1 的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2, -2,0), B(2,2,0), C(-2,2,0), D(-2, -2,0), P(0,0,2 23).

图 1

确定空间定点 M 的坐标的步骤：(1)过点 M 分别作垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴的平面

,依次交 x 轴、y 轴和 z 轴于 P、Q 和 R.(2)确定 P、Q 和 R 在 x 轴、y 轴和 z 轴上的坐标 x、y 和 z.(3)得出点 M 的坐标(x,y,z). 1-1.如图 2,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中建立直角坐标 系，已知|AB|=3,|BC|=5,|AA1|=2,写出下列各点的坐标：

图2 (3,0,0) (0,0,2) (3,5,0) (3,0,2) (3,5,2) B______, C______, A1______, B1______, C1______, (0,5,2) D1______.

空间中点的对称问题 例 2:在空间直角坐标系中，已知点 P(4,3,-5),求点 P 关于各坐标轴及坐标平面的对称点. 解：点 P 关于原点的对称点是(-4,-3,5); 点 P 关于 x 轴的对称点是(4,-3,5); 点 P 关于 y 轴的对称点是(-4,3,5); 点 P 关于 z 轴的对称点是(-4,-3,-5); 点 P 关于 xOy 坐标平面的对称点是(4,3,5); 点 P 关于 yOz 坐标平面的对称点是(-4,3.-5); 点 P 关于 zOx 坐标平面的对称点是(4,-3,-5). 记忆方法：“关于谁对称则谁不变，其余 相反”.

2-1.点 M(3,5,2)关于平面 yOz 对称的点的坐标是( B ) A.(3,-5,2) C.(3,5,-2) B.(-3,5,2) D.(-3,-5,2)

2-2.分别求点 M(2,-3,1)关于 xOy 平面、y 轴和原点的对 称点. 解：点 M 关于 xOy 平面的对称点是(2,-3,-1),关于 y 轴的对称点是(-2,-3,-1),关于原点的对称点是(-2,3, -1).

空间距离 例 3: 在空间直角坐标系中，已知点 P(4,3,-5),求点 P 到各坐标轴及坐标平面的距离.解： P 到 x 轴的距离是 y2+z2= 34; 点 点 P 到 y 轴的距离是 x2+z2= 41; 点 P 到 z 轴的距离是 x2+y2=5;

点 P 到 xOy 坐标平面的距离是|z|=5; 点 P 到 yOz 坐标平面的距离是|x|=4; 点 P 到 zOx 坐标平面的距离是|y|=3.

3 -1.B 点是 A(1,2,3) 在平面 yOz 平面上的射影，则|OB| = ( C )A. 5 B. 10 C. 13 D. 14

例 4:点(1,u,v)的集合(其中 u、v∈R)是( A.一个点 C.一个平面 B.一条直线 D.都不对

)

错因剖析：没有注意到 u、v 是变量. 正解：条件中 u、v∈R,故集合表示过点(1,0,0)且与 x 轴垂 直的平面.

4-1.已知 ABCD 为平行四边形，且 A(4,1,3),B(2,-5,1), C(3,7,-5),求顶点 D 的坐标. 解：∵平行四边形的对角线互相平分， ∴AC 的中点即为 BD 的中点， 又 AC 的中点 7 ,4,-1 , O2

-5+y 1+z 7 x+2 设 D(x,y,z),则2= 2 ,4= 2 ,-1= 2 , ∴x=5,y=13,z=-3, 故 D(5,13,-3).