水文时间序列的混沌性分析及预测研究（毕业设计）(6)

22 第四章 水文混沌时间序列的Volterra预测

图4-2自适应滤波器控制算法图

滤波器的工作过程如图4-2所示，其中u(n)，u(n+1)，?，u(n-m+1)为输入向量，错误！未找到引用源。（n），错误！未找到引用源。（n），?，错误！未找到引用源。（n）为权值向量。

在预测过程中，输入一个向量，滤波器输出响应为

y(n)=错误！未找到引用源。(n)u(n-k)

预测误差e（n）为目标响应与实际响应的差

e（n）=d(n) －y(n)= d(n) －错误！未找到引用源。(n) ω(n)

均方误差为

ξ（n）=E(错误！未找到引用源。(n))

=E[错误！未找到引用源。]

=E(错误！未找到引用源。(n))+错误！未找到引用源。(n)E[U（n）错误！

未找到引用源。（n）]错误！未找到引用源。 －2E[d(n)错误！未找到引用源。（n）]错误！未找到引用源。

=E[错误！未找到引用源。(n)]+错误！未找到引用源。Rω－2错误！未

找到引用源。ω

由公式可以得出均方误差ξ是ω的各个分量的二次函数，是一个m+1维空间中开口向上的抛物面，有唯一的最低点，求抛物面最低点的过程也就是使均方误差达到最小的过程。

4.4水文混沌时间序列Volterra自适应模型算法及实现

Volterra自适应模型需要将水文系统相空间矢量用Volterra级数展开成线性空间时序数据，然后通过滤波器确定此水文预测模型的参数。具体步骤如下：

（1） 在水文系统相空间中，模型的输入向量为(x(n)，x(n－τ)，?，x(n－(m－1) τ))，而实际预期结果为x(n+1)。

（2） 为了减小计算量提高鲁棒性，需要确定合适的滤波器阶数，一般取其二阶展开式。通过水文时间序列的最小嵌入维数m可以确定其截断阶数。

（3） 根据展开的Volterra级数。转换成滤波器的输入信号错误！未找到引用源。 = 错误！未找到引用源。

（4） 确定滤波器的自适应参数以及计算其估计误差并画出其误差曲线和预测仿真曲线。

e(n)=x(n+1) －错误！未找到引用源。(n)错误！未找到引用源。(n) 错误！未找到引用源。(n+1)= 错误！未找到引用源。(n) +错误！未找

到引用源。U(n)e(n)

水文时间序列的混沌特性及预测研究 23

(5)利用建好的Volterra滤波器自适应模型进行水文系统的一步或多步预测。 4.5水文混沌时间序列Volterra自适应预测 洛伦兹系统方程为

选定参数值为a=16，b=4，c=45.92,起始点为3×1的列向量[－1，0 ，1]，积分时间步长h=0.01，延迟时间τ=10，嵌入维数m=4，Volterra阶数为3，取1000个样本为训练样本，1000个样本为测试样本。图4-3、4-4为Volterra自适应一步预测和多步预测的仿真图和误差曲线图，由图可以看出其预测效果较好。

图4-3 Volterra自适应一步预测

24 第四章 水文混沌时间序列的Volterra预测

图4-4 Volterra自适应多步预测

水文时间序列的混沌特性及预测研究 25

第五章 水文混沌时间序列的RBF预测

5.1RBF神经网络结构模型

径向基函数是一种前馈型神将网络，它是根据人脑细胞对外界刺激所做出反映的过程工作的。由于其具有较高的计算速度，并且在理论上能以任意精度逼近某一非线性函数，具有较高的鲁棒性和预测精度，得到了社会各个领域的广泛应用和研究。

RBF神经网络由三层结构构成，第一层为输入层，它与外界联通，是一些感知单元，主要起数据输入的作用，不对数据做任何的计算。第二层为隐含层，在这一层将输入的一维时间序列转化为多维时间序列，并将输入的数据通过非线性变化转化为基函数单元。第三层为输出层，这一层主要是对隐含层的输出响应做加权和。

图5-1 径向基神经网络结构

5.2RBF神经网络的学习算法

RBF神经网络需要确定三个参数，即基函数的中心、宽度和网络权值，基函数的训练包括监督学习和非监督学习 两个过程。当确定各个参数以后，RBF神经网络学习算法需要求解三个参数，即基函数的中心、方差和隐含层到输出层的权值。基于不同的径向基函数中心选取方法，RBF网络的学习方法有很多种，常见的有随机选取中心法，自组织选取法，有监督选取中心法和正交最小二乘法等。下面详细介绍一下自组织选取中心的过程，求解径向基函数的中心与方差。

径向基函数神经网络中常用的径向基函数是高斯函数，因此径向基神经网络的激活函数可表示为

R(错误！未找到引用源。)=exp(－错误！未找到引用源。)

26 第五章 水文混沌时间序列的RBF预测

其中为错误！未找到引用源。欧式范数；错误！未找到引用源。为高斯函数的中心；σ为高斯函数的方差。由上图所示的径向基神经网络的结构可得到网络的输出为

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 exp(－错误！未找到引用源。)

j=1，2，?，n

其中，错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。为第p个输入样本；p=1,2,3，?，P,P为样本总数；错误！未找到引用源。为网络隐含层结点的中心；错误！未找到引用源。为隐含层到输出层的连接权值；i=1,2,3，?，h为隐含层节点数；错误！未找到引用源。为与输入样本对应的网络的第j个输出结点的实际输出。设d是样本的期望输出值，那么基函数的方差可表示为

σ=错误！未找到引用源。

学习算法具体步骤如下：

步骤1：基于K－均值聚类方法求取基函数中心c；

① 网络初始化：随机选取h个训练样本，作为聚类中心(i=1,2,3，?，h)； ② 将输入的训练样本集合按最近邻规则分组：按照与中心为之间的欧式距离将错误！未找到引用源。分配到输入样本的各个聚类集合

（p=1，2，?，P）中。

③ 重新调整聚类中心：计算各个聚类集合中训练样本的平均值，即新的聚类中心，如果新的聚类中心不再发生变化，则所得到的即为RBF神经网络的基函数中心，否则返回②，进行下一轮的中心求解。

步骤2：求解方差错误！未找到引用源。，可如下求解：

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 i=1,2,3，?，h 其中错误！未找到引用源。是所选取中心之间的最大距离。 步骤3：计算隐含层和输出层之间的权值。

隐含层至输出层之间神经元的连接权值可以用最小二乘法直接计算得到，计算公式如下：

ω=exp(错误！未找到引用源。) i=1,2,3，?，h p=1,2,3，?，P 5.3水文时间序列的RBF预测

用RBF进行水文预测，具体需要经过下面的几步：

第一步：生成原始混沌时间序列和做一些适当的预处理，如进行数据的平稳化处理，消除数据的季节性和周期性的影响。

第二步：计算延迟时间和嵌入维数，确定相空间重建的最佳参数。

第三步：使用所选的相空间参数获得重构向量，将他们划分为训练集和测试集。 第四步：构造RBF网络预测模型和设置所需的变量。