水文时间序列的混沌性分析及预测研究（毕业设计）(5)

水文时间序列的混沌特性及预测研究 1 7

错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。≥?≥错误！未找到引

用源。

则特征值及特征向量称为主分量。求出所有特征值得和γ为

γ=错误！未找到引用源。

以指标i为X轴，错误！未找到引用源。为Y轴得到的图，称为主分量谱。在主分量图中，可以将混沌信号和噪声清晰的区分出来，在主分量谱图中，噪声是一条几乎和x轴平行的直线，而混沌信号则是一条过顶点的斜率为负的一条直线，所以用主分量谱图识别混沌是一种有效的方法。

3.3庞加莱截面法

庞加莱截面是相空间中选取的一个截面，在这个截面上可以比较清晰的观察系统的运动状况。这个截面不能和轨线相切，也不能和轨线平行，它与相空间中的轨线相交形成截点。设记录得到的庞加莱点为：错误！未找到引用源。，?。这样就在庞加莱截面上让系统连续运动，降为低维的离散点之间的映射错误！未找到引用源。=T错误！未找到引用源。，其中T称为庞加莱映射。

我们可以通过观察庞加莱截面上点的分布情况来判定系统是否是混沌的，当发生周期运动时，庞加莱截面上只有一个不动点或者极少数的离散点，当是混沌系统时，庞加莱截面上出现成片的分形结构的密集点。图3-2是lorenz系统的庞加莱截面相图，图中点成片出现且成密集的分形结构，所以系统是混沌系统。

图3-2 Lorenz系统的庞加莱截面图

18 第三章 水文时间序列的混沌性识别

3.4李雅普诺夫指数法

李雅普诺夫指数是用来刻画混沌吸引子特征的一个参量，混沌系统具有对初始值的敏感依赖性，两个相邻的初值，它们的轨道会随着时间的推移按指数规律分离，而李雅普诺夫就是刻画这种分离特征的参量。

当李雅普诺夫指数大于零的时候，相空间轨道会发生迅速的分离，表现出对初始条件的敏感依赖性，运动呈混沌状态；当李雅普诺夫指数小于零时，相空间发生收缩，对初始条件不敏感，运动稳定；当李雅普诺夫指数等于零时，系统处于临界条件，但如果最大李雅普诺夫指数大于零时则系统是混沌的。所以我们可以根据李雅普诺夫指数谱来判别系统是否是混沌的。

由图3-3李雅普诺夫指数谱可以看出，有一部分指数谱位于0轴上面，所以证明lorenz系统是混沌系统。

李亚普诺夫指数谱（lorenz系统）420-2李亚普诺夫指数-4-6-8-10-12-14-16050100150200250a300350400450500

图3-3李雅普诺夫指数图

水文时间序列的混沌特性及预测研究 19

第四章 水文混沌时间序列的Volterra预测

在水文时间序列的非线性研究过程中，主要在于建立合适的输入输出模型，泛函级数是由科学家V.Volterra提出的，可以用Volterra泛函级数来描述具有记忆能力的任何非线性系统。在上个世纪六十年代，Volterra泛函级数开始应用于水文系统的非线性描述，到目前为止，建立的Volterra滤波器自适应预测模型取得了良好的预测效果，它利用过去的已知的数据，通过不断修正误差参数来逼近函数，获得了良好的预测效果。

4.1 Volterra泛函级数

Volterra级数的一般形式是

y(t)=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。(τ)x(t－τ)dτ+错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。）x(t－错误！未找到引用源。x(t－错误！未找到引用源。)d错误！未找到引用源。d错误！未找到引用源。+?+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。，?，错误！未找到引用源。)x(t－错误！未找到引用源。) ?x(t－错误！未找到引用源。)d错误！未找到引用源。?d错误！未找到引用源。

简记为

y(t)=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。，?，错

误！未找到引用源。)错误！未找到引用源。)d错误！未找到引用源。] 其中 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，?，错误！未找到引用源。是一阶、二阶以及n阶核函数或者冲击响应，非线性系统用核函数表示出来就如上式所示，系统的功能全部包含在核函数中，反映出水文系统的演变规律。它有以下几点性质： (1)

(2) 函数具有对称性

错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。， ?，错误！未找到引用源。，?，错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。， ?，

错误！未找到引用源。，?，错误！未找到引用源。)= ?

(3)当错误！未找到引用源。﹤0时，错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，?，错误！未找到引用源。)=0，n=1，2，?，因为它的输出只与过去的数据有关，而与将来的数据没有任何关系。

,n=1，2，?，为有界函数，且其变量都是实变量，可以按照

正交多项式展开。

20 第四章 水文混沌时间序列的Volterra预测

4.2水文混沌时间序列Volterra自适应模型

重构水文系统相空间是水文预测的理论基础，设在水文系统中，重构相空间后某一点的状态向量为

X(t)=(x(t-τ)，x(t-2τ)，?，x(t-mτ))

设X(t)是嵌入到原动力系统相应轨道上的时间序列，则由Takens定理可得到一个动力系统F满足：

X（t+1）=F(X(t))

从而得到函数F使得

X(t－τ+1)=f(x(t－τ)，x(t－2τ)，?，x(t－mτ)

因此，我们只需要求出f就可以根据时间序列x(t)得到一个非线性的时间序列预测模型。实践表明，用Volterra级数来构造非线性时间序列预测模型可以得到很好的预测结果。

根据以上两式可得

X(n+1)=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)x(n－错误！未找到引用源。τ)

+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)x(n－错误！未找到引用源。τ) x(n－错误！未找到引用源。τ)+ ?

+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)x(n－错误！未找到引用源。τ) x(n－错误！未找到引用源。τ) ?x(n－错误！未找到引用源。τ)+ ?

在实际应用过程中，由于其信号输入个数随幂级数快速的增加，其计算的次数也相应的增加，计算过程过于复杂，所以通常用其二阶截断模型，通过N项求和的方式来简化计算，而且其精度也比较高，在误差允许的范围内，其简化模型为 错误！未找到引用源。(n+1)=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)x(n－错误！未找到引用源。τ)+错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)x(n－错误！未找到引用源。τ) x(n－错误！未找到引用源。τ)+e(n)

图4-1是Volterra自适应滤波器的结构图。

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图4-1 Volterra自适应滤波器结构

Volterra自适应滤波器结构能够对非线性时间序列进行有效的预测，但其滤波器的阶数N对预测效果具有显著的影响，所以必须选择合适的滤波器级数才能获得最优的预测效果。

4.3 Volterra滤波器自适应算法

Volterra自适应滤波器的优化算法分为两类，一类是最小均方误差算法，另一种是递推最小二乘算法。最小均方误差算法是使滤波器的预测输出与实际输出的误差的均方和最小。该算法收敛速度比递推最小二乘法慢，但精度和鲁棒性较好，而且最小均方误差算法的计算量小，所以在实际计算中应用更为广泛。递推最小二乘算法不断调整滤波器的权系数，使其误差的加权平方和最小。虽然其收敛速度快 …… 此处隐藏：1821字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……