水文时间序列的混沌性分析及预测研究（毕业设计）(4)

12 第二章 重构水文系统相空间

础上，Cao Liangyue提出了改进的虚假邻近点法，又叫做Cao法，它使用少量的数据就可以求得较好的结果，而且在计算的时候如果知道延迟时间就可以求解。其具体算法如下：

设所有a(i，m)关于i的均值是

a(i，m)=错误！未找到引用源。

定义函数（m）如下

E（m）=错误！未找到引用源。

如果当m大于某一个值时停止变化，则重构相空间的最小嵌入维数即为m+1。但在实际应用中，当m增加时，当（m）增加的比较缓慢时我们很难分辨出它是在缓慢增加还是已经停止变化了，为此Cao定义

错误！未找到引用源。（m）=错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。（m）=错误！未找到引用源。

为了使计算更加准确，我们可以同时计算错误！未找到引用源。（m）和错误！未找到引用源。（m）的值来确定最小嵌入维数。图2-3、2-4是曹氏法求嵌入维数的仿真图。

图2-3曹氏法求嵌入维数

水文时间序列的混沌特性及预测研究 13

图2-4曹氏法求嵌入维数

14 第三章 水文时间序列的混沌性识别

第三章 水文时间序列的混沌性识别

在对混沌时间序列预测过程中，我们首先需要去判别该时间序列是否为混沌时间序列，也即是对其进行混沌性识别，在通常情况下，物质的运动分为定常运动、周期运动和准周期运动，而混沌是自然界中存在的介于有序和无序之间的更为广泛的一种运动，它是非线性系统中一种极其复杂的运动状态，始终在某一有限的区域内回环往复，永不重复。混沌时间序列的混沌性的识别方法有很多，目前常用的方法主要有功率谱方法、主分量分析法、庞加莱截面法、李雅普诺夫指数法等，下面将对这些方法进行详细的介绍。

3.1功率谱方法

对于某一时间序列，为了分析其是否具有混沌特性，我们可以测量该时间序列的功率谱，通过分析功率谱就可以得出结论。功率谱是指单位频率上的能量，通过分析功率谱在频率上的分布状况来分析时间序列，是分析时间序列常用的一种工具。频率f与相应的功率函数E（f）之间具有某种指数关系，这种关系已被广泛应用到了物理学中的许多地方。例如，设β为功率谱指数，β=0对应白噪声；β=2对应褐色噪声；0.5＜β＜1.5对应于杂音，这是功率谱与振动数的倒数成正比的摆动的总称。

E(f)=错误！未找到引用源。∝错误！未找到引用源。

故有

E(λf)=错误！未找到引用源。E(f)

1. 谱图若具有单峰或几个峰，则对应于周期或拟周期序列； 2. 若无明显的峰值或峰连成一片，则对应于湍流或混沌序列。

3. 实验中可以直接测量的对象之一，错误！未找到引用源。是时间序列的功率谱。对N个采样值加上周期条件错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，计算自关联函数

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

然后对完成离散傅氏变换，计算傅氏系数

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

直接作快速傅氏变换，得到系数

然后计算错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。的值，将其记做错误！

水文时间序列的混沌特性及预测研究 15

未找到引用源。，用同样的方法求得许多组错误！未找到引用源。的值，将这一组{错误！未找到引用源。}求取平均值，所得到的结果将逐渐趋近于功率谱错误！未找到引用源。。为了使傅里叶变换的算法简化，我们一般将时间序列长度取为2的幂次，如错误！未找到引用源。=1024，这样使计算变得简单也减少了计算机的工作量。

我们将采样间隔时间τ和总采样时间Nτ求取倒数，作为两个特征频率，如下所示

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。=Δf=错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。在这里表示采样数据过程中所能观察到的最高频率，为了使高频成分更加明显，就需要缩短采样的时间间隔。用错误！未找到引用源。=Δf表示两个相邻的傅里叶系数之间的频率差。

但利用这种离散的采样方法永远难以确定系统的频率结构，由于好多系统具有周期或准周期特性，在离散采样时会出现虚假的高频成分，反射回高频区间，使采样数据发生混乱。但这种混乱的现象却又不能完全消除，只能去减弱，常用的方法就是让错误！未找到引用源。远远的超过系统的主频率错误！未找到引用源。，如令

错误！未找到引用源。=k错误！未找到引用源。

根据经验，一般将k在4到8范围内取值，使高峰和低峰明显的区别开来，然后在采样的时候可以只选取小于错误！未找到引用源。的，这样就可以将假峰带来的混淆现象减弱甚至降低至理想范围内，这种思想叫做分频，分频思想的提出对于混沌识别具有重要的意义，在计算功率谱时就首先必须要能分辨出一定的分频，就是在由若干个点构成的峰中，我们要根据功率谱能确认出它的结构，因此有

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

从上面四个简单的算术关系式中消去τ和错误！未找到引用源。得到

N=2ksp

式中N为既能分变出p分频又能有效的避免混淆现象的最少的样本点数目，如果k取4，s取8，p取32，则为了能避免混淆现象又可以分辨出32分频的样点数目为2048个，至少应采取2048个点来做傅里叶变换，但由于计算机的计算能力有限，通常N由计算机的能力决定。

这样进行功率谱分析之必须做如下工作：

⑴ 对于系统基频和计算能力允许的N，要做到心中有数。

⑵ 给定k，确定采样间隔τ=错误！未找到引用源。。对于实验工作，这就确定了应当选用的模数转换器的频率；对于理论计算，这决定每次迭代几次或积分几步采样一个点，而决不是把所有的迭代点都送去做傅里叶变换。

16 第三章 水文时间序列的混沌性识别

⑶ 为了使频谱效果较好应同时取较大的s和k，但由于计算量较大，超过了计算机的计算能力，所以要么取较大的s而将p取小一些，或者将p取得较大而将s取的较小。在实际应用时我们应视具体情况而定。

⑷ 在原始数据中往往包含有大量的外界干扰因素，或受周期运动的影响会在功率谱中产生大量的假峰，我们应考虑滤波和分频。所以功率谱分析方法是观察分岔或混沌的重要方法。

图3-1是lorenz系统的分岔图。

6050403020100-10-20x050100150200250r300350400450500

图3-1 Lorenz系统分岔图

3.2主分量分析法

主分量分析方法是识别混沌的一种比较新的方法，它是在近几年才提出的，虽然提出至今时间较短，但在识别混沌方面不失为一种好方法。它可以有效的将混沌和噪声区分开来。其具体的算法步骤如下，其中{错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。}是一维时间序列，错误！未找到引用源。为采样间隔，d为嵌入维数，进行相空间重构后形成的线轨迹矩阵如下

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 计算协方差矩阵A为

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

然后计算出协方差矩阵A的特征值(i=1，2，?d)和相应的特征向量(i=1，2，?d)。将特征值按大小排列