水文时间序列的混沌性分析及预测研究（毕业设计）(3)

水文时间序列的混沌特性及预测研究 7

第二章 重构水文系统相空

2.1重构相空间理论

重构相空间的目的就是为了将低维时间序列转化到高维空间里，使得我们在低维空间内看不到的信息在高维空间里表现出来。通过重构相空间，我们可以在高维空间中得到时间序列的混沌吸引子，通过研究混沌吸引子的运动规律我们就可以得到系统的运动规律。在混沌系统中，每一个分量的运动都与其它的分量息息相关,每一个分量的运行规律也都是由其它分量的运动所构成的，体现着每一个分量的运动特征，所以我们只需要研究某一个或某几个分量在多维空间中的运动规律就可以分析出系统的运动规律和特征。

现在假设某一个水文时间序列｛x(t)，t=1,2??n｝，设它的延迟时间为τ，嵌入维数为m，则将其扩展到高维空间中，其相型分布如下：

x(1) x(2+) x(i) x(n-（m-1）τ) x(1＋τ) x(2＋τ) x(i＋τ) x(n-（m-2）τ) x(1＋2τ) x(2＋2τ) x(i＋2τ) x(n-（m-3）τ) 错误！未找到引用源。 用源。

x(1＋(m-1)τ) x(2＋(m-1)τ) x(i＋(m-1)τ) x(n) X(1) X(2) X(i) X(N) 式中每一列构成相空间中的一个相点，每一列的n-（m-1）τ个相点连接在一起就是该相点的演化轨迹图。本章重点要解决的问题就是延迟时间和嵌入维数的合理选择，它们两个参数的值既不能太大也不能过小。

错误！未找到引

错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。

2.2水文系统重构延迟时间的确定

延迟时间的选择影响着后续的整个预测结果，其值的大小要有合适的范围，太大或太小都会对结果造成不良影响。如果选的过小则相邻的两个相点间分离过小无法区分，冗余度偏大，信号轨迹在主轴方向上压缩，重构相空间的样点所包含的信息量偏小，不能将有效的信息充分展现出来。如果延迟时间选择的太大的话，则相邻两个样点间的距离过大，两个样点间几乎没有相关性，样本信息量丢失，相轨迹出现重叠。目前，可以用多种方法计算延迟时间，如自相关法、复自相关法、平均位移法和互信息法等，但每种方法都有各自的优缺点，用不同的方法计算出来的结果也可能有差别，带有较强的主观性，因此在计算过程中，尽量选择两种和两种

8 第二章 重构水文系统相空间

方法以上计算再取平均值，这样可以降低人为主观性带来的误差。

2.2.1自相关法求时延

自相关函数法求时延是一种常用的求延迟时间的方法，经过几十年的演化和发展已经相当成熟了。它主要是利用时间序列的线性相关性来求延迟时间。对于某一个混沌时间序列，如果我们知道它的自相关函数就可以求延迟时间，首先以时间t为横坐标，做出自相关函数的函数图象。根据实验结果，一般取自相关函数曲线下降到初始值的1-错误！未找到引用源。倍时所对应的时间t为相应的延迟时间错误！未找到引用源。。

对于连续变量x(t)其自相关函数C(τ)定义为

C(τ)=错误！未找到引用源。

设x（t）的最大值是固定的，则当C(τ)越大时，则表明x(t)与x(t+τ)越相似。又τ越小，则x(t)与x(t+τ)越相似,从而C(τ)越大。反之，τ越大，则x(t)与x(t+τ)的差别可能越来越大，最后以至x(t)与x(t+τ)可能完全无关而C(τ)愈来愈小直至趋于0。

自相关函数的性质：

（1）C(τ)是实偶函数，即 C(τ)= C(-τ)； （2）C(0)是C(τ)的最大值； （3）C(0)等于x(t)的均方值；

（4）若x(t)是周期函数，则C(τ)也是周期函数，此时C(τ)不仅在τ=0处有极大值，而且在nT处都会有极大值；

（5）在有些情况下，运动并不是规则的，但也不是完全随机的，而是如混沌运动和噪声等。设如果x(t)包含有随机过程s(t)和规则运动r(t)两部分，那么有x(t)= s(t)+ r(t)，则x(t)的自相关函数等于这两部分各自的自相关函数之和

错误！未找到引用源。(τ)= 错误！未找到引用源。(τ)+ 错误！未找到引用源。

(τ)

为表示运动频谱特征，常对自相关函数进行傅里叶变换

S(ω)=错误！未找到引用源。dτ C(τ)=错误！未找到引用源。dω

S(ω)性质

（1） S(ω)是频率ω的实偶函数；

（2） S(ω)曲线下的面积等于运动变量x(t)的均方值

错误！未找到引用源。= C(0)=错误！未找到引用源。

水文时间序列的混沌特性及预测研究 9

（3） S(ω)表示功率谱密度。

某一个随机过程的自相关函数和功率谱密度之间存在着某种关系，若这个随机过程是连续的则构成一对连续的傅里叶变换对，如果这个过程是不连续的，则构成一对不连续的傅里叶变换对。

设错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。，?，错误！未找到引用源。?，﹛错误！未找到引用源。是一个混沌时间序列，序列的时间跨度为jτ，则它的自相关函数为

错误！未找到引用源。(jτ)=错误！未找到引用源。

我们可由上式求出j，做出自相关函数关于时间变量t的函数图象，求出函数值下降到初始值的1-错误！未找到引用源。时所对应的时间t，则t即为用自相关函数求得的延迟时间。

图2-1是用自相关法求Lorenz系统的延迟时间的函数图象。

图2-1用自相关法求时延的曲线图

2.2.2平均位移法

平均位移法是用几何方法求相空间延迟时间的一种算法，因为其独特的物理特性受到人们的广泛重视。根据实验结果，首先做出用来度量平均位移法的函数图象，选择函数的斜率第一次下降到其波形的初始斜率的0.4倍以下时的时间t作为其延迟时间。但是这种准则具有一定的随意性，仅根据实验结果得到。

当延迟时间选的比较小的时候，相邻的两个分量没有完全分开，他们被挤压在对角线的方向上，设延迟时间取为τ的时候，相空间中每两个相邻分量之间的平均距离为

错误！未找到引用源。(τ)=错误！未找到引用源。

10 第二章 重构水文系统相空间

=错误！未找到引用源。

随着τ的增加错误！未找到引用源。 (τ)的值会近似沿直线变化，直至达到饱和，通常取达到饱和之前的那点所对应的τ为最佳延迟时间，但经过多年的实验经验，一般取函数曲线斜率下降到初始值的0.4倍时即为最佳延迟时间。这种经验取值往往更能符合计算要求。用平均位移法对Lorenz系统求延迟时间得到最佳延迟时间为9。

2.2.3复自相关法

自相关法是用时间序列间的线性相关性来求延迟时间的，郑重方法虽然简单但具有一定的片面性，它仅仅是排除了相邻的两个点之间的相关性，但别的点之间可能仍然具有较强的相关性。如错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。以

及错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。，他们之间不相关，但却无法保证错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。之间不相关，这一点表明用自相关法求得的延迟时间具有一定的片面性，在较高维的相空间中可能就不能准确的求出其延迟时间了。为了解决这个问题，有人提取了自相关法和平均位移法两者的优点，将两者结合起来，形成了一种新的求延迟时间的方法，即复自相关法。下面是在自相关法和平均位移法的基础上推导复自相关法的过程。

设重构后的相空间嵌入维数为m，则时间序列{错误！未 …… 此处隐藏：2847字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……