探析数学思想的培养——以极限思想为例
[关键词]极限思想;数学思想;培养
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068(2017)17-0079-01
在数学学习中,当学生把贮藏在脑海里的公式、定理、定律、经典例题都忘却,剩下的便是精华——数学思想与直觉经验。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。下面,笔者以极限思想为例,从三个方面分析学生数学思想的培养。
一、以极限思想为“触发点”
小学数学课程涉及集合思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等基本思想。在小学阶段,极限思想的学习离不开无限思想的积累,教师应让学生通过相关数学知识的学习,适度体会“无限”,进而感受“极限”。为此,苏教版小学数学教材每一册都安排了相关内容,以丰富学生的认知。
通过对教材中涉及极限思想的内容的统计与分析,我们可以发现编者的意图——由浅入深、循序渐进。这种教学安排非常适合小学生:学生通过计数发现“自然数的个数是无穷的,不存在最大的数”;通过空间想象,清楚地意识到“直线和射线是无限延长的”;通过对基础数论知识的了解,深入理解“一个分数在值不变的情况下可以变换出无限种不同的形式”……这些知识虽然绕不开无限思想,但小学生基于原有的知识和经验,借助特定的学习情境,能对“无限”形成理性认知。
在教学过程中,教师要牢牢把握每个内容的触发点,帮助学生从无法想象的“无限”过渡到可以研究的“极限”。“圆的面积”就是一个典型的例子。学生将圆分成若干(偶数)等份,剪开后拼一拼,再经过想象和推理,认识到均分圆的份数越多,每份的面积越小,拼成的图形就越接近长方形。教师还借助几何画板软件,动态展示“切分越细,效果越逼真”的函数变化效果图。
二、感触极限思想的“爆发点”
利用极限切分改组后的圆形可以等同于一个长方形,推导出圆的面积公式,是因为例子带有直观性和客观性,学生可以充分利用形象思维理解知识,而遇到一些较抽象的问题时,学生则需在感性思维的基础上进行二次想象。教师可以设计“计算
…+
”这样的习题,引导学生在已有的表象储备上进行创造性想象,自主感悟“和为1”的原因。
极限思想是一个逐渐“加码”的过程,教师可先让学生从“有限”的运算开始想象:
……通过不断加码,最后由“有限”渐至“无限”,计算结果用代数式表示为
。不断往后加码时,m与m-1同时无限增大,它们之间的差值“1”相对于这种变化逐渐可以忽略不计。因此,m与m-1的商就会逐渐趋近于1,直至等于1。教学实践表明,学生的思维从“结果无限接近于1”向“结果就是1”转变的过程是艰难的,部分学生甚至认为“这是绝对不可能的”。这就需要教师找到思维的“爆发点”,帮助学生打破思维障碍。
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