概率论与数理统计课后习题答案(魏宗舒编)(1-4章)

概率论与数理统计课后习题答案(魏宗舒编)(1-4章)

第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2， ，正9，记不合格为次，则

(正2，正4)， ，(正2，正9)，(正2，次)， {(正1，正2)，(正1，正3)， ，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)， ，(正3，正9)，(正3，次)， ，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次)} A {(正1，次)，(正2，次)， ，(正9，次)}

(2)记2个白球分别为 1， 2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则 { 1， 2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4}

(ⅰ) A { 1， 2} (ⅱ) B {r1，r2，r3，r4}

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述ABC的意义。

(2)在什么条件下ABC C成立？ (3)什么时候关系式C B是正确的？ (4) 什么时候A B成立？

解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) ABC C 等价于C AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品（1 i n）。用

Ai表示下列事件：

(1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1) Ai; (2) Ai Ai; (3) [Ai( Aj)];

i 1n

nnnn

i 1i 1i 1

j 1j i

(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 AiAj；

i,j 1

i j

n

1.4 证明下列各式： (1)A B B A; (2)A B B A

(3)(A B) C A (B C); (4)(A B) C A (B C)

概率论与数理统计课后习题答案(魏宗舒编)(1-4章)

(5)(A B) C (A C) (B C) (6) Ai Ai

i 1

i 1

n

n

证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。

1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

解 样本点总数为A82 8 7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”

211

包含A3 2A3 A5 2 3 6个样本点。于是

2 3 69

。 8 714

1.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。

P(A)

5

解 样本点总数为 3 10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7

或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，

3

于是P(A) 。

10

1.7 一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？

解 显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!个样本点。

3!2!2!2!48

13!13!

1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。

解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9 10 1 89个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9 8 17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为

17

P(A)

89

1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为

所以P(A)

97。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位

7A9

乘客离开电梯”。所以包含A个样本点，于是P(A) 7。

9

79

1.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？

94 9

解 用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A) ，所以

10000 10 94 9

P(A) 1-P(A) 1 1

10000 10

4

4

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1.11 任取一个正数，求下列事件的概率： (1)该数的平方的末位数字是1； (2)该数的四次方的末位数字是1； (3)该数的立方的最后两位数字都是1；

1

解 (1) 答案为。

5

(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为

42 105

(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含102

个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a 7，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是

。

1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。

解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5 3 1种接法，同样对尾也有5 3 1种接法，所以样本点总数为(5 3 1)2。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5 3 1种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4 2。所以A包含的样本点数为(5 3 1)(4 2)，于是

P(A)

(5 3 1)(4 2)8

2

15(5 3 1)

(2) 2n根草的情形和(1)类似得

1.13 把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能

N n k 2

，0 k n n k的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k个球的概率为 N n 1 n

N n 1

N m 1 m(2)恰好有m个盒的概率为 ，N n m N 1 N n 1 n

(3)指定的m个盒中正好有

m j 1 N m n j 1

，1 m m 1n jj个球的概率为

N n 1 n

N,0 j N.

解 略。

1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。

3

解 所求概率为P(A)

5

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