自考概率论课件_第七章_参数估计.ppt1

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§7.1

参数的点估计

一、点估计的一般定义及步骤设总体X~F(x,θ),θ是未知参数,(X1,X2,…,Xn)是 取自总体X的样本,适当选取一个统计量

去估计参数θ, 称 为θ的估计量或把 用 叫做 θ的点估计.

= (X1,X2,…,Xn)

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二、获取点估计的两种方法

1.矩估计法 2.极大似然估计法1.矩估计法 矩估计法的思想是：用样本的各阶矩去估计 总体相应的各阶矩，而总体各阶矩都是总体分布 中未知参数的函数，从而，通过估计总体矩来达 到估计总体分布中未知参数的目的.

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矩估计法的基本思想: 用样本矩估计总体矩.

样本 k 阶原点矩 Ak 1

X ni 1 n

n

k i

;

总体 k阶原点矩 k E ( X k );

n i 1 k 阶中心矩 总体 k k E[ X E ( X )] ;

样本 k阶中心矩 Bk 1

k ( X X ) . i

例如，可用样本均值 X 作为总体均值 E ( X ) 的估计 量。

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例1 设样本(X1, X2, …, X n )来自总体 X,且总体 的均值 未知，求 的矩估计量.解：因为 EX , 而总体一阶原点矩 样本一阶原点矩n

1 n X Xi n i 1故

1 Xi X n i 1

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例2 设总体 X 在 [a , b] 上服从均匀分布, a , b 未知. X1 , X 2 , , X n 是来自 X 的样本, 试求 a , b 的矩估计 量. 1 E( X ) (a b) / 2, 总体一阶原点矩 解

2 E ( X ) D( X ) [ E( X )] 总体二阶 2 2 (b a ) / 12 (a b) / 4, 原点矩22

1 n A1 X i X n i 1

样本一阶原点矩

1 n 2 1 n 2 2 样本二阶 A2 X i ( X i X ) X 原点矩 n i 1 n i 1

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以 A1 , A2 代替 1 , 2 , 得到 a , b 的矩估计量分别为

3 2 A1 3( A2 A ) X (Xi X ) , a n i 12 1

n

n 3 2 2 b A1 3( A2 A1 ) X (Xi X ) . n i 1

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2 2 例3 设总体 X 的均值 及方差 都存在, 且有 0, 2 但 , 均为未知, 又设 X1 , X 2 , , X n 是来自 X 的样 2 本, 试求 , 的矩估计量. 解 1 E ( X ) , 总体一阶原点矩 2 2 2 2 总体二阶 2 E ( X ) D( X ) [ E ( X )] ,

1 A1 X i X n i 1 1 n 2 1 n 2 2 样本二阶 A2 X i ( X i X ) X 原点矩 n i 1 n i 1

n

原点矩 样本一阶原点矩

2 , , 以 A1 , A2 代替 1 2 得 和 的矩估计量分别为

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X, 2 2 2 2 2 1 1 A2 A1 X 1 X ( X 1 X ) . n i 1 n i 1 n n

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例3 设样本(X1, X2, …, X n )来自总体 X~P( ), 求 的矩估计量.

解：

EX ,

总体一阶原点矩

1 X Xi n i 1

n

样本一阶原点矩

所以

n 1 Xi X n i 1

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例4 设总体 X 在 [a , b] 上服从均匀分布, a , b 未知. X1 , X 2 , , X n 是来自 X 的样本, 试求 a , b 的矩估计 量. 1 E(

X ) (a b) / 2, 总体一阶原点矩 解

2 E ( X ) D( X ) [ E( X )] 总体二阶 2 2 (b a ) / 12 (a b) / 4, 原点矩22

1 n A1 X i X n i 1

样本一阶原点矩

1 n 2 1 n 2 2 A2 X i ( X i X ) X 样本二阶 n i 1 n i 1 原点矩

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以 A1 , A2 代替 1 , 2 , 得到 a , b 的矩估计量分别为

3 2 A1 3( A2 A ) X (Xi X ) , a n i 12 1

n

3 2 2 b A1 3( A2 A1 ) X (Xi X ) . n i 1

n

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二、极大似然估计法在已得到试验结果的情况 极大似然估计法的思想： 下，应寻找使这个结果出现的可能性最大的那个

. 值作为 的估计 似然函数的概念离散型总体的情形：设总体 X 的概率分布为 P{ X x } p( x , ), 其中 为未知参数. 如果 X 1 , X 2 , , X n 是取自总体 X 的样本 , 样本的 观察值为 x1 , x2 , , xn , 则样本的联合分布律

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记为

P{ X 1 x1 , , X n xn } p( xi , ),L( ) L( x1 , x2 , , xn , ) p( xi , ),i 1

n

i 1 n

例1 设 X ~ b(1, p), X 1 , X 2 , X n 是取自总体 X 的一 个样本 解 设 x1 , x2 , , xn 是 X 1 , X 2 , X n 的一个样本值, X 的分布律为 故似然函数为

P{ X x } p (1 p)x

1 x

, x 0,1,n

L( p) p (1 p) p i 1 (1 p)xi 1 x i i 1

n

xi

n

xii 1

n

,

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设总体X的概率密度为 f ( x , ), 连续型总体的情形： 其中 为未知参数， 此时定义似然函数

L( ) L( x1 , x2 , , xn , ) f ( xi , ).i 1

n

例2 设总体 X 服从指数分布, 其概率密度函数

解 似然函数

e , f ( x, ) 0, x

x 0 x 0n

,

xi ne i 1 , L( x1 , x2 , , xn ; ) 0,

xi 0 其它

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主要步骤： 求未知参数 的最大似然估计问题，(1) 写出似然函数 L( ) L( x1 , x2 , , xn , );

d ln L ( ) dL ( ) (2) 令 0, 求出驻点； 0或 d d (3) 判断并求出最大值点, 在最大值点的表达式中,用样本值代入即得参数的最大估计值.