湖南(理科)--2010年高考数学试卷及答案

高考卷

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式：锥体的体积公式为13

V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则( )

A ．M N ?

B ．N M ?

C ．{}2,3M N =

D ．{}1,4M N =

2．下列命题中的假命题．．．

是( ) A ．R x ?∈，120x -＞ B ．N x *?∈，()10x -2

＞

C ．R x ?∈，1lg <x

D ．R x ?∈，tan 2x =

3．极坐标方程cos ρθ=和参数方程1,23x t y t

=--??=+?（t 为参数）所表示的图形分别是( )

A ．圆、直线

B ．直线、圆

C ．圆、圆

D ．直线、直线

4．在Rt ABC ?中，90C ∠= ，4AC =，则?等于( )

A ．16-

B ．8-

C ．8

D ．16

5．4

21d x x ?等于

A ．2ln 2-

B ．2ln 2

C ．ln 2-

D ．ln 2

6．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．若120C ∠= ，c =，则( )

A ．a ＞b

B ．a ＜b

C ．a =b

D ．a 与b 的大小关系不能确定

7．在某种信息传输过程中，用４个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )

A ．10

B ．11

C ．12

D ．15

8．用},min{

b a 表示a,b 两数中的最小值，若函数},min{)(t x x x f +=的图象关于直线2

1-=x 对称，则t 的值为（ ） A ．－2 B ．2 C ．－1 D ．1

二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应的题号后的横线上．

9．已知一种材料的最佳加入量在110g 到210g 之间．若用0.618法安排试验，则第一次试

高考卷

点的加入量可以是 g ．

10．如图所示，过⊙O 外一点P 作一条直线与⊙O 交于A ，B 两点．已知PA=2，点P 到⊙O 的切线长PT=4，则弦AB 的长为 ． 11．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则1≤x 的概率为 ．

12．如图，是求222123+++2

…+100的值的程序框图，则正整数n = ． 13．图中的三个直角三角形是一个体积为203

cm 的几何体的三视图，则h = cm

14．过抛物线2

2(0)x py p =＞的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,A B 两点，,A B 在x

轴上的正射影分别为,D C ．若梯形ABCD

的面积为，则p = ． 15．若数列{}n a 满足：对任意的n N *

∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的

m 的个数为()n a *，则得到一个新数列{}()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，

则数列{}()

n a *

是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N

n *

∈，2n a n =，则

5()a *= ，(())n a **= ．

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12

分）已知函数2()22sin f x x x -．

正视图

侧视图

俯视图

6 单位：cm

B

高考卷

（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；

（Ⅱ）求函数()f x 的零点的集合．

17．（本小题满分12分）如图，是某城市通过抽样得到的

居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．

（Ⅰ）求直方图中x 的值；

（Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位

居民（看做有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨

的居民数X 的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）如图所示，在正方形1111D C B A A B C D -中，E 是1DD 的中点. （1）求直线BE 和平面11A ABB 所成的角的正弦值；

（2）在棱11D C 上是否存在一点F ，使F B 1∥平面BE A 1？证明你的结论．

19．（本小题满分13分）为了考察冰川的融化状况，一支科

考队在某冰川上相距8km 的A ，B 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A ，B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图所示）．在直线2x =的右侧，考察范围为到点B

的距离不超过

的区域；在直线2x =的左侧，考察范围为到A ，B 两点的距

离之和不超过的区域．

（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方

程；

（Ⅱ）如图所示，设线段12PP ，23P P 是冰川的部分边界线（不考

虑其他边界），当冰川融化时，边

界线沿与其垂直的方向朝考察区

域平行移动，第一年移动0.2km ，

以后每年移动的距离为前一年的2

倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．

20．（本小题满分13分）已知函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=，对任意的R x ∈，恒有)(x f '≤)(x f ．

（1）证明：当x ≥0时，2)()(c x x f +≤； D 1C 1B 1A 1

E D C B

A

高考卷

（2）若对满足题设条件的任意b,c ，不等式)()()(22b c M b f c f -≤-恒成立，求M 的最小值．

21．（本小题满分13分）数列{}n a (*N n ∈)中，1a =a ，1+n a 是函数

x a n x n a x x f n n n 22233)3(2

131)(++-=的极小值点． （1）当a =0时，求通项n a ；

（2）是否存在a ，使数列{}n a 是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．

高考卷

参考答案（湖南理科）

一．选择题

1．答案：C M ∩N={1,2,3}∩{2,3,4}={2,3}

【命题意图】本题考查集合的交集与子集的运算，属容易题。

2．答案：B 对于B 选项x=1时，0)1(2=-x ，故选B 。

【命题意图】本题考查逻辑语言与指数函数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，属容易题。

3．答案A 极坐标方程θρcos =化为普通方程为x y x =+22，x y x =+22为圆的方程，参数方程?

??+=--=t y t x 321，化为普通方程为3x+y+1=0，是直线方程，故选A 。 【命题意图】本题考查圆的极坐标方程和直线的参数方程与互化普通方程，属容易题。

4．答案D ∵∠C=?90，∴0=?， ∴16)()(2=?+=?+=?CB AC AC AC CB AC AC AB ，故选D 。

【命题意图】本题考查向量的加法的运算，向量的数量积，属中档题．

5．答案D ∵x

x 1)(ln ='，∴?=-==42422ln 2ln 4ln ln 1x dx x ，故选D ． 【命题意图】本题考查基本定理微积分，常用对数的导数，属容易题目．

6．答案A ∵?=∠120C ，a c 2=，∴C ab b a c cos 2222-+=，

)2

1(22222--+=ab b a a ，∴ab b a =-22， b a ab b a +=-， ∵0,0>>b a ，∴0>+=-b

a a

b b a ，∴b a >，故选A ． 【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．

7．答案B 与信息0110至少有两个位置上的数字相同的信息包括三类：

第一类：与信息0110有两个对应位置 …… 此处隐藏：2636字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……