导数经典习题分类精选

导数经典习题分类精选

导数定义

x2

例1．y f(x)

ax b x2

思路：y f(x)

ax b

x 1

x 1x 1

在x 1处可导，则a b

x 1x 1

在x 1处可导，必连续limf(x) 1

x 1

lim f(x) a b f(1) 1 ∴ a b 1

x 0 x x

例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限： x 0

lim

y

2 lim

y

a ∴ a 2 b 1

（1）lim

f(a 3h) f(a h)

2h

h 0

； （2）lim

f(a h) f(a)

h

2

h 0

分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在x a处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 解：（1）lim

f(a 3h) f(a h)

2h

h 0

lim

f(a 3h) f(a) f(a) f(a h)

2h

h 0

lim 3232

f(a 3h) f(a)

2h3h12

h 0

lim

f(a) f(a h)

2h

lim

f(a h) f(a)

h

h 0

lim

f(a 3h) f(a)12

h 0h 0

f'(a) f'(a) 2b

2

（2）lim

f(a h) f(a)

h

2

h 0

f(a h2) f(a)

lim 2h 0h

h

lim

f(a h) f(a)

h

2

h 0

limh f'(a) 0 0

h 0

例3．观察(x) nx

nn 1

，(sinx) cosx，(cosx) sinx，是否可判断，可导的奇函

数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。

解：若f(x)为偶函数 f( x) f(x) 令lim

f(x x) f(x)

x

x 0

f (x)

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f ( x) lim

f( x x) f( x) x

f(x x) f(x)

x 0

lim

f(x x) f(x)

x

x 0

lim

x 0

f (x)

∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数

另证：f [f( x)] f ( x) ( x) f (x)

已知函数f(x)在定义域R上可导，设点P是函数y f(x)的图象上距离原点O最近的点.

(1) 若点P的坐标为(a,f(a)), 求证：a f(a)f'(a) 0;

(2) 若函数y f(x)的图象不通过坐标原点O, 证明直线OP与函数y f(x)的图象上点

P处切线垂直.

2

2

2

证：(1)设Q(x , f (x) )为y = f (x)上的动点，则|OQ| = x+ f ( x )， 设F(x) = x2 + f 2 ( x ),

则F'(x)=2x +2f (x)f ' ( x )

已知P为y = f(x) 图形上距离原点O最近的一点，

∴|OP|2为F(x)的最小值，即F(x) 在x = a处有最小值, 亦即F(x) 在x = a处有极小值

∴ F'(a)=0， 即 2a+2f (a)f ' (a)=0 (2) 线段OP的斜率为

f(a)a

，y=f(x)之图形上过P点的切线l的斜率为f ' (a)

由(1)知f (a)f '(a) = – a，

∴图象不过原点，∴a 0，∴

f(a)a

f '(a) = –1

∴OP⊥l，即直线OP与y=f(x)的图形上过P点的切线垂直.

利用导数证明不等式

例6．求证下列不等式

（1）x

x

2

2

ln(1 x) x

x

2

2(1 x)

x (0, )（相减）

（2）sinx

2x

x (0,

2

)（相除）

（3）x sinx tanx x x (0,

2

)

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2

2

证：（1）f(x) ln(1 x) (x

x

2

) f(0) 0 f (x)

11 x

1 x

x 1x 1

0

∴ y f(x)为(0, )上 ∴ x (0, ) f(x) 0 恒成立

2

x) x

x

2

∴ ln(12

g(x) x

x

2(1 x)

ln(1 x) g(0) 0

2

2

) 1

4x 4x 2x

12x

2

g (x4(1 x)

2

1 x

4(1 x2

)

0

∴ g(x)在(0, )上 ∴ x (0, ) x

x

2

2(1 x)

ln(1 x) 0恒成立

（2）原式

sinx

2

x

令 f(x) sinx/x x (0,

2

) cosx 0

x tanx 0

∴ f (x)

cosx(x tanx)

x

2

∴ x (0,

2

) f (x) 0 (0,

2

)

f( 2) 2 ∴ sinx 2x

（3）令f(x) tanx 2x sinx f(0) 0

(x) sec

2

x 2 cosx

(1 cosx)(cosx sin

2

fx)

cos

2

x

x (0,

2

) f (x) 0 ∴ (0,

2

)

∴ tanx x x sinx

（理做）设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2

x－2a ln x＋1. （Ⅰ）解：根据求导法则有

f (x) 1

2lnx2a

x

x

，x 0，故F(x) xf (x) x 2lnx 2a，x 0，于是F (x) 1 2x 2，

x x

x 0

列表如下：

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故知F(x)在(0，2)内是(2， ∞)x 2处取得极小值

F(2) 2 2ln2 2a．

（Ⅱ）证明：由a≥0知，F(x)的极小值F(2) 2 2ln2 2a 0． 于是由上表知，对一切x (0， ∞)，恒有F(x) xf (x) 0． 从而当x 0时，恒有f (x) 0，故f(x)在(0， ∞)内单调增加．

所以当x 1时，f(x) f(1) 0，即x 1 ln2x 2alnx 0．(利用单调性证明不等式） 故当x 1时，恒有x ln2x 2alnx 1．

（全国卷22）（本小题满分14分）已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,

(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g(

a b2

)<(b-a)ln2.

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（2009全国卷Ⅱ理）(本小题满分12分)设函数f x x aIn 1 x 有两个极值点x1、x2，

2

且x1 x2

（I）求a的取值范围，并讨论f x 的单调性；（II）证明：f x2 解: （I）f x 2x

a1 x

2x 2x a

1 x

12

2

1 2In2

4

(x 1)

令g(x) 2x2 2x a，其对称轴为x

。由题意知x1、x2是方程g(x) 0的两个均大

，得0 a

12

于 1的不相等的实根，其充要条件为

4 8a 0 g( 1) a 0

⑴当x ( 1,x1)时，f x 0, f(x)在( 1,x1)内为增函数；

⑵当x (x1,x2)时，f x 0, f(x)在(x1,x2)内为减函数； ⑶当x (x2, )时，f x 0, f(x)在(x2, )内为增函数； （II）由（I）g(0) a 0,

f

12

x2 0，a (2x

2

22

22

+2x2)

x2 x2 aln 1 x2 x2 (2x

22

2

+2x2)ln 1 x2 12)，

设h x x (2x 2x)ln 1 x (x

则h x 2x 2(2x 1)ln 1 x 2x 2(2x 1)ln 1 x

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⑴当x (

12

,0)时，h x 0, h(x)在[

12

,0)单调递 …… 此处隐藏：7642字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……