(全国通用版)2019高考数学二轮复习 板块四 考前回扣 专题6 立体

回扣6 立体几何与空间向量

1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系

2．三视图

(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．(2)三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样．

3．柱、锥、台、球体的表面积和体积

1

2 4.平行、垂直关系的转化示意图 (1)

(2)两个结论

① ?????a ⊥αb ⊥α?a ∥b ，② ?

????a ∥b a ⊥α?b ⊥α. 5．用空间向量证明平行、垂直

设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)．则有：

(1)线面平行

l ∥α?a ⊥μ?a ·μ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.

(2)线面垂直

l ⊥α?a ∥μ?a ＝k μ?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.

(3)面面平行

α∥β?μ∥v ?μ＝λv ?a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3.

(4)面面垂直

α⊥β?μ⊥v ?μ·v ＝0?a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0.

6．用向量求空间角

(1)直线l 1，l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈l 1，l 2〉|(其中l 1，l 2分别是直线l 1，l 2的方向向量)．

(2)直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈l ，n 〉|(其中l 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量)．

(3)平面α，β的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|，则二面角α—l —β的平面角为θ或π－θ(其中n 1，n 2分别是平面α，β的法向量)．

1．混淆“点A 在直线a 上”与“直线a 在平面α内”的数学符号关系，应表示为A ∈a ，a ?α.

2．在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)

3 视图和俯视图为主．

3．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面

积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数13

. 4．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出m ⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m ?α的限制条件．

5．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．

6．几种角的范围

两条异面直线所成的角：0°<α≤90°；

直线与平面所成的角：0°≤α≤90°；

二面角：0°≤α≤180°.

7．空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．

1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是(

)

A.π3

B.π4

C.π2

D ．π 答案 D

解析 由三视图可知，该几何体为球的34，其半径为1，则体积V ＝34×43

×π×13＝π. 2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的直观图及三视图如图所示，D 为AC 的中点，则下列命题中是假命题的是( )

4

A ．A

B 1∥平面BD

C 1

B ．A 1

C ⊥平面BDC 1

C ．直三棱柱的体积V ＝4

D ．直三棱柱的外接球的表面积为43π 答案 D 解析 由三视图可知，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面B 1C 1CB 是边长为2的正方形，底面ABC 是等腰直角三角形，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2. 连接B 1C 交BC 1于点O ，连接OD

.

在△CAB 1中，O ，D 分别是B 1C ，AC 的中点， ∴OD ∥AB 1，

又OD ?平面BDC 1，AB 1?平面BDC 1， ∴AB 1∥平面BDC 1.故A 正确； 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ， ∴AA 1⊥BD .又AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点， ∴BD ⊥AC ，

又AA 1∩AC ＝A ，AA 1，AC ?平面AA 1C 1C ， ∴BD ⊥平面AA 1C 1C ，

又A 1C ?平面AA 1C 1C ，

∴BD ⊥A 1C .

又A 1B 1⊥B 1C 1，A 1B 1⊥B 1B ，B 1C 1∩B 1B ＝B 1， B 1C 1，B 1B ?平面B 1C 1CB ，

∴A 1B 1⊥平面B 1C 1CB ，

又BC 1?平面B 1C 1CB ，

5 ∴A 1B 1⊥BC 1.

∵BC 1⊥B 1C ，且A 1B 1∩B 1C ＝B 1，

A 1

B 1，B 1

C ?平面A 1B 1C ，

∴BC 1⊥平面A 1B 1C ，

又A 1C ?平面A 1B 1C ，

∴BC 1⊥A 1C ，

又BD ∩BC 1＝B ，BD ，BC 1?平面BDC 1，

∴A 1C ⊥平面BDC 1.故B 正确；

V ＝S △ABC ×C 1C ＝12

×2×2×2＝4，故C 正确； 此直三棱柱的外接球的半径为3，其表面积为12π，D 错．故选D.

3．已知直线l ，m 和平面α，则下列结论正确的是( )

A ．若l ∥m ，m ?α，则l ∥α

B ．若l ⊥α，m ?α，则l ⊥m

C ．若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α

D ．若l ∥α，m ?α，则l ∥m

答案 B

解析 若l ∥m ，m ?α，则l ∥α或l ?α，故A 错误；若l ⊥α，m ?α，则l ⊥m ，B 正确；若l ⊥m ，l ⊥α，则m ?α或m ∥α，故C 错误；若l ∥α，m ?α，则l ∥m 或l ，m 异面，故选B.

4．已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )

A ．m ∥l

B ．m ∥n

C ．n ⊥l

D ．m ⊥n 答案 C

解析 由题意知，α∩β＝l ，∴l ?β，

∵n ⊥β，∴n ⊥l .

故选C.

5．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ?α，l ?β，则( )

A ．α∥β且l ∥α

B ．α⊥β且l ⊥β

C ．α与β相交，且交线垂直于l

D ．α与β相交，且交线平行于l

答案 D

6 解析 假设α∥β，由m ⊥平面α，n ⊥平面β，得m ∥n ，这与已知m ，n 为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l 1，则l 1⊥m ，l 1⊥n ，在直线m 上任取一点作n 1平行于n ，那么l 1和l 都垂直于直线m 与n 1所确定的平面，

所以l 1∥l .

6.如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，以下四个命题：①点H 是△A 1BD 的垂心；②AH 垂直于平面CB 1D 1；③直线AH 和BB 1所成的角为45°；④AH 的延长线经过点C 1，其中假命题的个数为(

)

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

答案 B

解析 ∵AB ＝AA 1＝AD ，BA 1＝BD ＝A 1D ，

∴三棱锥 A －BA 1D 为正三棱锥，

∴点H 是△A 1BD 的垂心，故①正确；

∵平面A 1BD 与平面B 1CD 1平行，AH ⊥平面A 1BD ，

∴AH ⊥平面CB 1D 1，故②正确；

∵AA 1∥BB 1，

∴∠A 1AH 就是直线AH 和BB 1所成的角，

在直角三角形AHA 1中，

∵AA 1＝1，A 1H ＝23&# …… 此处隐藏：5511字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……