2014届高三数学一轮复习 空间几何体的结构、三视图和直观图提分

空间几何体的结构、三视图和直观图

一、选择题

1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )． A．球的三视图总是三个全等的圆 B．正方体的三视图总是三个全等的正方形 C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆

解析 画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆． 答案 A

2. 设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1

的棱异面，则的取值范围是（ ）

（A

） （B

）（C

）（D

）

答案 A

3. 下列四个几何体中，几何体只有主视图和左视图相同的是(

)

A．①② B．①③ C．①④

D．②④

解析 由几何体分析知②④中主视图和左视图相同． 答案 ：D

4．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )．

A.

222222 B．22a2 C.a2 D. 423

解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝形的面积等于

2

，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边4

a2

24

＝22a.故选B.

2

答案

B

5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为( )．

解析 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D符合． 答案 D

1

6．如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的

2俯视图可能是( )．

（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）

解析 当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中1π

圆时，几何体为底面半径为，高为1的圆柱，体积为C中三角形时，几何

241

体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为.

2

7. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(

)

（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）

解析 由主视图可排除A，C；由左视图可判断该几何体的直观图是B. 答案 B 二、填空题

8．利用斜二测画法得到的： ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形． 以上结论正确的个数是________．

解析 由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误． 答案 1

9．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．

（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）

解析 由三视图中的正(主)、侧(左)视图得到几 何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③

.

10. 用单位正方体块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值为________，最小值为________．

（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）

解析 由俯视图及主视图可得，如图所示，由图示可得体积的最大值为14，体积的最小值为

9.

（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）

答案 14 9

11．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．

解析 (构造法)由主视图和俯视图可知几何体是 正方体切割后的一部分(四棱锥C1- ABCD)，还原 在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即 为正方体的体对角线，如图即AC1.由正方体棱长

AB＝2知最长棱AC1的长为23.

答案 3

【点评】 构造正方体，本题就很容易得出结论，此种方法在立体几何问题中较为常见，把抽象问题转化为直观问题解决．

12．如果一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为________．

（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）

解析 根据三视图的信息可以知道相应的空间几何体是一个正六棱锥，结合数据可知其底面正六边形的边长为1，棱锥的高为h3.由于三视图中“宽相等”，那么左视图中的三角形的底边边长与俯视图中正六边形的高相等，可得其长度为3，则该几何体的左视图的面

13

积为S33＝.

223答案

2三、解答题、

13．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)．

(1)在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）

解析 (1)如图．

（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）

(2)所求多面体的体积

V＝V1长方体－V正三棱锥＝4×4×6－3× 1 2×2×2 ×2 ＝2843

3

)． 143，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？

解析 如图所示，正四棱锥S-ABCD中， 高OS3，侧棱SA＝SB＝SC＝SD7， 在Rt△SOA中，

OA＝SA2－OS2＝2，∴AC＝4.

∴AB＝BC＝CD＝DA＝22. 作OE⊥AB于E，则E为AB中点． 连接SE，则SE即为斜高，

在Rt△SOE中，∵OE＝1

2BC2，SO3，

∴SE＝5，即侧面上的斜高为5.

15.

（三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图）

(1)该空间几何体是如何构成的？ (2)画出该几何体的直观图； (3)求该几何体的表面积和体积．

解析 (1)这个空间几何体的下半部分是一个底面各边长为2，高为1的长方体，上半部分是一个底面各边长为2，高为1的正四棱锥． (2)按照斜二测画法可以得到其直观图，如图．

(3)由题意可知，该几何体 P－A′B′C′D′构成的简单几何体．

由图易得：AB＝AD＝2，AA′＝1，PO′＝1，取A′B′中点Q，连接PQ， 从而PQPO′2＋O′Q2＝12＋12＝2，所以该几何体表面积

1

S＝(A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′)PQ＋(A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′)AA′＋

2AB·AD＝2＋12.

116

体积V1＝.

33

16．一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长． 解析 如图所示，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x cm，

2x2240－x

则OCx＝

23040解得x＝120(3－2)，

∴正方体的棱长为120(3－2) cm.