四川大学物理学院理论力学第三章课件1

四川大学物理学院理论力学第三章课件1

第三章

一、刚体运动的描述

刚体定义

刚体力学

描述质心可用( x,y,z), 描述转动可由欧拉角

§3.1 刚体运动的分析

描述刚体位置的独立变量

自由度

二、刚体运动的分类及其自由度

平动

（自由度：3）

定轴转动（自由度：1）

平面运动（平面平行运动）（自由度：3）定点转动（自由度：3）

一般运动：平动+定点转动（自由度：6）

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§3.2 角速度矢量

一、有限转动与无限小转动1、有限转动不是矢量

B B

A

A+B=B+A

对易律

A

B

≠B+A不满足对易律

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2、无限的转动角位移是矢量

Δn=ΔθΔr=PMΔθ=rsin Δθ

′′ r1'→r1=r1'+Δr'=r1'+Δn2×r1'

Δn2

r→r'=r+Δr=r+Δn×r11

Δn1

Δr=Δn×r

P

略去二阶微量′Δr+Δr=Δn×r+Δn×r12

=r+Δn1×r+Δn2×r+Δn2×(Δn1×r)

′ ′r2'→r2''=r2+Δn1×r2

′ =r2+Δn1×r+Δn1×(Δn2×r)

略去二阶微量Δr′+Δr=Δn2×r+Δn1×r

∵Δr+Δr′=Δr′+Δr∴Δn1+Δn2=Δn2+Δn1

Δn1

′r→r'=r+Δn×r=r+Δr22

Δn2

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线位移与角位移的关系：Δr=Δn×r

二、角速度矢量

Δndnω=

Δn=Δθ

v=limΔt→0ΔtΔt→0Δt

dθ

ω=

dt

转动瞬轴

v=r=ω×r

a=v=ω×r+ω×r

a=β×r+ω×(ω×r)

三、线加速度与角加速度

Δωdω=β=lim

Δt→0Δtdt

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§3.3

一、欧勒角的选取

欧勒角

节线：ON ：进动角θ：章动角ψ：自转角

这3个角是独立的0≤ ≤2π0≤θ≤π0≤ψ≤2π

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二、欧勒运动学方程

ω=ωxi+ωyj+ωzk

ω= +θ+ψ

e3 =

θ=θeON

=ψ kψ

k

e3=sinθsinψi+sinθcosψj+cosθk

eON=cosψi sinψj

e3

cosψ sinθsinψ+θωx=

sinψ sinθcosψ θωy= + cosθωz=ψ

e2

ω=ωoxe1+ωoye2+ωoze3

cos sinθsin +θωox=ψ

sin sinθcos +θωoy= ψ

cosθ+ ωoz=ψeON=cos e1+sin e2

k=sinθsin e sinθcos e+cosθe

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§3.4 刚体运动方程与平衡方程

一、力系的简化1、两个等价的原理:

●平衡力不改变刚体运动状态的原理●力的可传性原理

2

、力系的简化

（1）、共点力系的简化（2）、共面非平行力的简化

可传性原理＋平行四边形法则

平行四边形法则

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（3

）、平行力的简化

M=r×∑Fi=r1×F1+r2×F2

力偶：F2= F1=F

力偶臂：O1O2

由此确定力的作用线

不在同一直线上

力偶矩：M=FiO1O2

M=r×F

自由矢量

(4)

、空间力系的简化简化原理为：

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简化步骤为:①确定力的简化中心

∑Fi=F

（通常取质心为简化中心）

称F为

主矢

②在简化中心处依次画出力矩

∑Mi=M称M为主矩

M1=OA×F1

M2=OB×F2

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二、刚体的运动微分方程

由刚体的质心运动定理,有

(e)

m rc=∑Fi=F

由相对质心的角动量（动量矩）定理，有 (e)dJ′′M′=ri×Fi=M′dti

n (e)

dT=∑Fi dri刚体运动的动能定理

∑

i=1

保守力系

T+V=E

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三、刚体的平衡方程

F=0 M=0

三力平衡定理

作用于刚体上的三个力若为平衡力系，则这三个力共面；或汇交于一点，或平行。

一般步骤

1、画草图，分析受力，选取坐标系；

2、写出∑Fi=0的分量形式；

3、选取力矩的参考点，对该点取矩，写出

∑Mi=0分量形式；

4、解方程组，求出平衡条件。

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例

半径为R的半球形碗内搁一均匀的筷子AB。筷子长2l, 设

2R>l>R, 且为光滑接触。求筷子平衡时的倾角a。3

B

解：确定筷子为对象，作受力分析。

∵∠OAD=∠ODA=αmg NBcosα NAsin2α=0NBsinα NAcos2α=0NBiAD mgiAF=0利用cos2α=2cosα 1

l12

cosα =0∴cosα 4R2

∵cosα>0

AD=2Rcosα

2

AFα=arccos

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解法二：确定筷子为对象，作受力分析。

因为∠ADE是直角，所以E一定在圆周上，

AE=2R

∵∠OAD=∠ODA

2

三力汇交

∴lcosα=AF=2Rcos2α

∵cos2α=2cosα 1l1

∴cosα cosα =0

4R2

2

A

α=arccos