积分在公式推导中的应用

《高等数学》的主要研究对象之一是：积分,其中包括一重积分、二重积分和三重积分,本文主要通过所学的积分知识对先前的三角形的面积、圆的周长、圆的面积、球体的表面积以及球体的体积等公式有个重新的认识。

21 00年第 6期第2 6卷 ( 26期)总 4

吉林省教育学院学报J OURNAL OF EDUCATI L ONA I TI NS TUTE OF I N J LI PROV CE

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积分在公式推导中的应用王培颖(东技术师范学院天河学院，东广州 5 0 4 )广广 15 0摘要：高等数学》《的主要研究对象之一是：积分，中包括一重积分、其二重积分和三重积分，本文主要通过所学的积分知识对先前的三角形的面积、圆的周长、圆的面积、球体的表面积以及球体的体积等公式有个重新的认识。关键词：分；式；用积公应 中图分类号 .6 G4文献标识码： A文章编号：6 1 18 (0 0 O—0 4— 0 17— 5O 2 l )6 16 2

《高等数学》是一门重要的专业必修课，通过对该课程的学习，如果对我们先前所熟知的公式如：三角形的面积公式、圆的周长公式、球面的表面积公式以及球体的体积公式能够用积分的知识推导出来， 那么我们应该是对积分的知识掌握比较好的了，包括积分的定义以及积分的几何意义等，面我将用下积分的知识对上述公式加以推导。一

:

2 2n 2cstt R -。2:2: d

d:R ( i t 2 s 2t、n,,

+ l: t隼 )我们注意到由上述所围成的图形正好是半个

圆，以我们计算出来的是半个圆的面积，所圆的面积也就得到了即 S x =r。 R

、

直角三角形的面积公式

()算二重积2 n d y其中Dx+ 2计分J d, x J: Y=; 三R。

例如：由直线，求以及轴所围成的平面图形的面积。(中的常数 )其 解 .= s一 +a d【 ) )=(一 +a x b a2

解『 dy『x!d d: R:』x: d R f y 2! n d』 x f_d: .: R 2华盯z根据二重积分的几何意义，所求的二重积分应该是区域 D的面积，区域 D正好是以原点为圆而心，为 R的圆，以二重积分计算出来应该就半径所是圆的面积了，圆的面积公式也可由此推导出来。即 三、球体的体积公式

我们注意到由上述的三条直线所围成的正好是

直角三角形，

所以根据上述的方法我们就得到了先前我们所熟知的直角三角形的面积公式，即两条直角边边长乘积的一半。二、圆的面积公式

( )由 Y/ x( 0的常数) x 1求=￣R一 R>与轴所围成的平面图形的面积。

() 1求由曲线 Y/ )绕 x轴旋转所形成=￣R一【 2的旋转体的体积。

解：=~ R一2= J￣ X x令 s J R√ X x 2/一 2 d / R dX=R s, i t则 n

解：=—q=— 1 R一 d= x v J R y x J RT x x 2 rd ( ) r0 J

( xx百2苫 =( _= ) 2R d x上述曲线与 X轴所围成的旋转体正好是球体，即所求是球体的体积，此种方法也说明了球体的用体积公式。收稿日期：O 0 5 O 2 1—0—1作者简介：王培颖( 9 9 )女， 17一，河北沧州人。广东技术师范学院天河学院，助教，研究方向：应用数学。16 4