实变函数论课件27

实变函数论课件

第27讲 Lp-空间简介 27讲本讲目的：掌握Lp-空间的定义及其重要 意义， 重点与难点： Newton-Leibniz公式的 证明。

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第27讲 Lp-空间简介 27讲人们在用迭代方法解微分方程或积分方程 时，常常会碰到这样的问题：尽管任意有限次 迭代函数都是很好的函数(可微或连续函数), 但当施行极限手续以求出准确解时却发现，迭 代序列的极限不在原来所限定的范围内，这促 使人们将函数的范围拓宽，空间理论正是在此 基础上产生的。1907年，F.Riesz与Frechet 首先定义了[0,1]上的平方可积函数空间，即

L ([0,1]) { f | f是Lebesgue可测 函数,且| f | 可 } 积p 2

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第27讲 Lp-空间简介 27讲随后,人们又进一步考察p-方可积函数，得 到空间 Lp ,考虑这些空间的一个基本思想是， 不再是将每一个函数当作一个孤立对象看，而 是作为某一类集合中的一个元素，将这个函数 集合看作一个整体讨论其结构。如果说前面所 研究的Lebesgue可测函数是一棵棵的树木, 现 在则要将这些树木放在起构成一片森林。

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第27讲 Lp-空间简介 27讲一. Lp —空间的定义我们知道，Rn中有线性运算，有距离公式，对于 两个函数，可以定义它们的线性运算，但它们之间所 谓“距离”的定义却不是件简单的是。首先，所定义 的距离必须有意义，例如，对于([a, b]) 中的两个函 C ax 数 f , g ,可以用 mx≤b | f (x) g(x) | 定义它们的距离，但 a≤ 如果用它来定义一般Lebesgue可测函数间的距离显 然是不合适的。其次，所定义的距离，必须满足距离 的一些最基本的性质。这些性质是什么呢？我们可以 通过 Rn中的距离归纳出来，即下面的

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第27讲 Lp-空间简介 27讲定义1 设 A 是一个集合。 是 × A到 1 的函数。满足： ρ A R (i)对任意 f , g ∈ A, ρ( f , g) ≥ 0并且 ( f , g) = 0 ρ

当且仅当f = g(非负性) (ii)对任意 f , g ∈ A, ρ( f , g) = ρ( f , g)(对 性 称 )(iii) 对任意

f , g, h ∈ A, ρ( f , g) ≤ ρ( f , h) + ρ(h, g)

1 ≤ p < ∞, E ∈Ln , 记Lp (E) = { f | f 是E上的Lebesgue可测函数， | f (x) | p dx < ∞ 且 }。 ∫设E

(三角不等式)。 则称是A上的距离

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第27讲 Lp-空间简介 27讲对任意 f , g ∈ Lp (E)及 , β ∈ R1 ,显然 αf + βg 仍 α 是E上的可测函数，由于对任意实数 a,b ,有 a, b

| a + b |≤ 2 m ax{| a |, | b |},所以

| αf (x) + βg(x) | ≤ 2 m αf (x) | ,| βg(x) | } ax{| p p p p p ≤ 2 (| α | | f (x) | + | β | | g(x) | )p p p p

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第27讲 Lp-空间简介 27讲因此不难看出 从

αf + βg ∈ L (E。 )p

L (E)

p

的定义，启发我们以下面的方式定义Lp (E)

上的距离： ( f , g) = [ p

∫ | f (x) g(x) |E

p

dx]

1/ p

由上面的讨论，显见对任意

f , g ∈Lp (E,有 )

0 ≤ ρ( f , g) < +∞

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第27讲 Lp-

空间简介 27讲即 ρ是Lp (E) × Lp (E) 上非负的有限函数。它是不是Lp (E) 上的距离呢？为此，设 ρ( f , g) = 0 ,则得

[∫ | f (x) g(x) | p dx] = 0 ,于是 [ | f (x) g(x) | p dx = 0E

1 p

∫

,进而

E

由此立得 另一方面，若

f (x) = g(x)a.e.[E].

| f (x) g(x) | = 0 a.e.[E].p

f (x) = f1(x) a.e.[E]

g(x) = g1(x) a.e.[E]

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第27讲 Lp-空间简介 27讲则

f (x) g(x) = f1(x) g1(x) a.e.[E]

,

从而

ρ( f , g) = ρ( f1, g1)p

。

上述分析说明，ρ( f , g) 并不是

L (E) 上的距离，但

使 ρ( f , g) = 0的函数必有几乎处处相等的，反之亦 然。因此，我们可以将 Lp (E) 中几乎处处相等的函数 放在一起，从而构成新的集合：

Lp (E) = {[ f ] | f ∈ Lp (E), g ∈[ f ] 当且仅当 f = g a. e.[E]}

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第27讲 Lp-空间简介 27讲对任意 [ f ],[g]∈ L (E) ,定义ρ([ f ],[g]) = [ | f g | dx]p

不难看到，对任意

, f1 ∈[ f ] g1 ∈[g]E

∫E

p

1/ p

,恒有

[∫| f g | p dx]1/ p = [∫| f1 g1 | p dx]1/ p故上面的定义是无歧义的，此外，若 则显然有E

[ f ] = [g]

。这样，

ρ

ρ([ f ],[g]) = 0 ,作为

L (E) × L (E)p p

上的函数的确满足距离定义中的(i),至于(ii)则是 显而易见的，所以只需验证它是否满足(iii)。

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第27讲 Lp-空间简介 27讲为方便起见，以后也用

f 记 [ f ],只要说 f ∈ Lp (E)

则指的就是与 f 几乎处处相等的函数类[ f ] ,若 说

f ∈ L (E)p

则指的就是单一的函数 f 。

二。几个重要的不等式 引理1 设a, b是正数， , β ≥ 0 ,+ β = 1 , α α 则 aαbβ ≤ αa + βb 等式成立当且仅当 中有一个为0。

a = b,或α, β

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第27讲 Lp-空间简介 27讲证明：不妨设 ( a > b a < b情形可类似证 明), 由引理的条件知，于是要证的不等式可写成

aα a a ( ) ≤ α + β = α( 1) +1 b b b aα a 即 ( ) 1 ≤ α( 1)b b

记 F(x) = xα 使 所以

F(c) F(1) = F′(ξ ) = αξα 1 c 1

,则对任意 >1 ,存在 c

ξ ∈[1, c],因

, ,

αξ

α 1

≤α

,从而 F(c) F(1 ≤ α(c 1 ) )

ξ ≥1

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第27讲 Lp-空间简介 27讲。令 c = a ,立得 c 1 ≤ α(c 1) b aα a ( ) 1 ≤ α( 1) b b 从证明过程可以看出，等号成立当且仅当 a = b或即α

a =1 或0,证毕。定理1(霍尔德(Holder)不等式)1 1 设 p >1, q >1, + =1 ,(满足条件的 p q

p, q称作共

1 轭数), ∈ Lp (E) , ∈ Lq (E) ,则 fg∈L (E), f g

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第27讲 Lp-空间简介 27讲且

∫| fg | dx ≤ [∫|f |E E

p

dx] [∫|g | dx] 。 (1)q

1 p

1 q

等式成立当且仅当 证明：若 设

|f|

p与

E

| g|

q 相差一个常数因子。

f , g中有一个为0,则(1)式显然成立

(事实上，此时(1)式两边都为0),故不妨

f,g

均不为0。于是

都不为0,

∫| f |E

p

dx, ∫|g | dxq E

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第27

讲 Lp-空间简介 27讲| f (x) | p | g(x) | p 1 1 , b(x) ,α = , β = , 记 a(x) = p q p q | f | dx |g | dx ∫ ∫

则由引理1,当E

f (x) ,g(x)都不为0时，有E

a(x) b(x) ≤ αa(x) + βb(x)α β即

| f (x)g(x) | [∫| f (x) | p dx] [∫| g(x) |q dx]E E 1 p 1 q

1 | f (x) | p 1 | g(x) |q ≤ + p p ∫| f (x) | dx q ∫| g(x) |q dxE E

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第27讲 Lp-空间简介 27讲且等号只有在 与| f (x) | p | g(x) |q = p | f (x) …… 此处隐藏：2214字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……