1.5推理规则和证明方法-1

1.5 推理规则和证明方法 1.5.1 推理规则–推理的前提与结论,正确推理 – 推理规则

1.5.2 证明方法–直接证明法, 间接证明法， –附加前提证明法(演绎定理) 归谬法(反证法)

例子例(1)若Scott是人，则Scott会死. Scott是人 ∴ Scott会死的 (2)聪明人都使聪明宝. P→Q

PQ P→Q

Scott没有使用聪明宝.∴ Scott不是聪明人 ¬P

¬Q

(3)设x属于实数。如果x是偶数， 2 则 x 是偶数。

P→Q Q P 推理不正确

x 2 是偶数∴ x是偶数

(4) 从满黑头发中拔掉一根 头发，则此人还是满黑头发 拔掉一根 ∴ 此人还是满黑头发

P →Q P Q 模糊逻辑推理3

1.5.1 推理规则P→Q P QP, P→Q推出Q P ∧P→Q永 真蕴含 Q

注：任一永真蕴含式都可作为一条推理规则

有效结论定义1.5-1 设H1,H2,…, Hn,C为命题公式， 若 H1 H2 … Hn C, 则称C是H1,H2,…, Hn的有效结论， 或称由H1 H2 … Hn 推出C是正确的。 如Q是P→Q,P 的一个有效结论。

即 证P∧ (P→Q) 永真蕴含Q也就是要证： P∧ (P→Q) →Q 是重言 式. 假言推理 P Q P \Q

设 P∧ (P→Q) 取值为真，则 P为真， 且 P→Q为真，故 Q为真 故P∧ (P→Q) →Q 是重言式.

如： Q是 P,(P Q) 的有效结论。 析取三段论规则 即 P (P Q) →Q 是一个永真式。 P Q P \Q

注： 推理正确不等于结论为真结论的真假取决于前提的真假， 前提为真时，结论C为真；前提为假时，结论可能真也可能假。

所以我们说：C是H1,H2,…, Hn的有效结论，而不说是正确结论 的原因6

推理的形式结构形式(1) H1 H2 … Hn C 形式(2) 前提: H1, H2, … , Hn 结论: C 推理正确记作 H1 H2 … Hn C 注1. 与 的区别

推理的形式结构形式(1) H1 H2 … Hn C 形式(2) 前提: H1, H2, … , Hn 结论: C 推理正确记作 H1 H2 … Hn C 对于实际中给出的推理: 1. 将推理中的(简单)命题符号化 2. 写出前提和结论 3. 判断该推理是否正确 正确：给出一个证明序列 不正确：给出反例

推理的形式结构(续)判断推理是否正确的方法: 真值表法 等值演算法 主析取范式法 观察法

实例(1)例1 判断下面推理是否正确: (1) 若今天是1号, 则明天是5号. 今天是1号. 所以明天是5号. 解 设 P: 今天是1号, Q: 明天是5号 推理的形式结构为 (P Q) P Q 证明 用等值演算法 (P Q) P Q (( P Q) P) Q ((P Q) P) Q P Q Q 1 得证推理正确,即 (P Q) P Q.

实例(2)(2) 若今天是1号, 则明天是5号. 明天是5号. 所以今天是1号. 解 设P: 今天是1号, Q: 明天是5号. 推理的形式结构为 (P Q) Q P 证明 用主析取范式法 (P Q) Q P ( P Q) Q P (( P Q) Q)

P Q P ( P Q) (P Q) (P Q) (P Q) m 0 m 2 m 3 m1 = P Q 01是成假赋值, 所以推理不正确.

推理规则——永真蕴涵式A (A B) 附加律 (A B) A 化简律 (A B) A B 假言推理 (A B) B A 拒取式 (A B) B A 析取三段论 (A B) (B C) (A C) 假言三段论 (A B) (B C) (A C) 等价三段论 (A B) (C D) (A C) (B D) 构造性二难 (A B) ( A B) (A A) B 构造性二难(特殊形式) (A B) (C D) ( B D) ( A C) 破坏性二难

推理规则——基本恒等式 每一个基本恒等式都派生出两条推理定律. 如双重否定律 A A,产生两条推理定律： A A ,A A

基本等值式双重否定律 A A

幂等律 交换律 结合律分配律 德摩根律 吸收律

A A A, A A A A B B A, A B B A (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) (A B) A B (A B) A B A (A B) A, A (A B) A

基本等值式(续)零律 A 1 1, A 0 0

同一律 排中律矛盾律 蕴涵等值式 等价等值式

A 0 A,A A 1 A A 0

A 1 A

A B A B A B (A B) (B A)

假言易位等价否定等值式 归谬论

A B B AA B A B (A B) (A B) A

推理规则(续)推理规则 (1) 前提引入规则(规则P): 在证明的任何步骤上, 都可以引入前提.

(2) 结论引入规则(规则T): 在证明的任何步骤上，所得到的结论都可以作为后继 证明的前提.

(3) 置换规则: 在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用 与之等值的公式置换，得到公式序列中一个公式.