大学线性代数试题及答案

各年线性代数试卷及答案

2006学年第2（ A

卷 ）

一、

填空题 (本题共有30分, 每小题3分)

120 1 ，则A 1 1301. 已知A 2 001 2. 设A为4阶方阵，且A 1,则3A ________.

3. 已知 1 (2,3,4,5)T, 2 (3,4,5,6)T, 3 (4,5,6,7)T, 4 (5,6,7,8)T，则向量组

1, 2, 3, 4 的秩为4. 设A是n阶方阵，且满足A2 A 5E 0, 则 A 2E _________. 5. 6.

7. 8.

1 x1 1 12

x 3 无解，则实数23a 2已知方程组 a ___________. 2

1a 2 x3 1

设 1 (1x,1)T, 2 (2, 1,2)T, 3 (0,1,2)T，当x 1, 2, 3线性无关. 设向量 (2,3,4,1), (1, 3,2,x)，且 与 正交，则x 1111

若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为,,,，则行列式

2345

B 1 E ________ .

1

2

9. 二次型f x1,x2,x3 x2 2x1x3的负惯性指标为10. 在MATLAB软件中，inv(A) 表示求__________. 二、单项选择题（本题共21分，每小题3分）

1. 设n维向量 和 的模分别是4和8， 与

的距离是则 与 的夹角为( )

2 2

（A） （B） （C） （D）

3333

2. 设A为5阶方阵，且R(A) 4， 1, 2是Ax 0的两个不同的解向量，则Ax 0的

通解为（ ） （A）k 1 （B）k 2 （C）k( 1 2) （D）k( 1 2) 3. 下列命题中与命题“n阶方阵A可逆”不等价的是（ ） ．．．（A）A 0 （B）A的列向量组线性无关 (C）方程组Ax 0有非零解 （D）A的行向量组线性无关

123

，P为3阶非零矩阵，且满足PQ 0,则（ ） 24t4. 已知Q

369

（A）t 6时P的秩必为1 （B）t 6时P的秩必为2

（C）t 6时P的秩必为1 （D）t 6时P的秩必为2

5. 当下列哪一个命题成立时，n阶方阵A与B相似 （ ） （A）A B （B）R(A) R(B)（C）A与B有相同的特征值 （D）A与B有相同的特征值，且n个特征值各不相同

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6. 设 1, 2, 3是齐次线性方程组Ax 0的基础解系，则下列向量组不能作为．．

Ax 0的基础解系的是（ ）

（A） 1， 1 2, 1 3 （B） 1， 2 3, 1 2 3 （C） 1， 1 2, 1 2 3 （D） 1 2， 1 3, 3 1

7. 设A与B均是n阶正定矩阵，A*,B*分别为A，B的伴随矩阵，则下列矩阵必为正定矩阵的是（ ）

（A）A*+3B* （B）A*B* （C）k1A* k2B*（k1，k2为任意常数） （D）A* B*

2

1

三、计算n阶行列式Dn

M112M1LLML11

的值. (本题8分) 2

(1 )x1 x2 x3 0

四、设线性方程组 x1 (1 )x2 x3 ，当 等于何值时，方程组

2x x (1 )x 123

(1) 有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并用基础解系表示方程组的通解.

（本题12分）

五、设有向量 (0,4,2,5)T, 1 (1,2,3,1)T, 2 (2,3,1,2)T,

3 (3,1,2, 2)T，问 可否表示成 1， 2， 3的线性组合?若可以,请给出一种表

达式. （本题9分）

六、证明若n阶方阵A满足A2 4A 3E 0,则A的特征值只能是1或3.(本题8

分)

22

七、已知二次型f(x1,x2,x3) 2x12 3x2 3x3 2ax2x3(a 0)通过正交变换化成标22准型f y12 2y2，求参数a及所用的正交变换矩阵.(本题12分) 5y3

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2006学年第2学期线性代数（ A卷 ）答案

6 40

一. 1. 220 2. 81 3. 2 4. -( A + 3 E) 5. 3或-1

002

6. x≠﹣

1

7. -1 8. 24 9. 0 10. 10 2

二.1. A 2. D 3. C 4. C 5. D 6. B 7. B 三.

D

n 1n 1 = n

n 1

1 1

2 1（4分）=（n+1）

1 21 112 1(6分) =（n+1）0 1 201 1

1 0= n+1(8分) 0 1

四．（12分）

11 1

1

1 = （ +3） 2 …………………..（2分）

1

11

（1）.当 ≠0且 ≠-3时，方程组有唯一解...............(4分) （2）.当 =-3时

10 11 2 9 21

21 3 → 0 336 (7分) A= 1 1 1 2 9 0 12 00

R(A)=2≠R(A)=3 ∴方程组无解...........(8分) （3）.当 =0时

111 111

A= 111 → 000 …………………（9分）

111 000

R(A)=1<3 ∴ 故方程组有无穷多解 (10分)

xxx

+1

+2

=0 3

1

1

= 110

，其中

1

2

= 101 …..(11分)

2

∴通解

x=k1 +k2

2

k，k

为任意实数…（12分）

k1 2k2 3k3 0

五．（9分） 设α=k1 1 k2 2 k3 ∴

2k1 3k2 k3 43k1 k2 2k3 2k1 2k2 2k3 5

(2分)

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1 2

A

3 1

2331122 2

0 1230 4 0 1 54

（4分） 2001 1

5 0000

∵R(A)=R(A)=3 ∴方程组有解 （5分）

k1 2k2 3k3 0

k2 5k3 4k3 1

（7分） k1 1,k2 1,k3 1 （8分）

1 2 3 （9分）

六．（8分） 证明： 设 为A的特征值， (A) A2 4A 3E 0 (2分) 则 ( )为 (A)的特征值 （4分） 即 (A) ( )E=0 (6分) 而 (A) 0 ∴ 0 ( )E ( ) 0

∴ (A) 2 4 3 0 ∴ =1或3 （8分） 七．（12分）

n

20a

A 020 （1分） A的特征值为1,2,5 （2分）

a03

20a

A 1 2 5 即 A=0

2a=2（6-a2）=10 ∴a= 1 (舍去-1) （5分）

a03

=1的特征向量为( 101)T （7分） =2的特征向量为(010)T （9分） =5的特征向量为(201)T （11分）

102

P 010 使PX=Y （12分）

101